《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

10. 如图,$\triangle ABC \cong \triangle ADE$,$AB = AD$,$AC = AE$,$BC的延长线交DA于点F$,交$DE于点G$,$\angle AED = 105^\circ$,$\angle CAD = 15^\circ$,$\angle B = 30^\circ$.求$\angle 1$的度数.

答案： 解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°。
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-105°=45°。
∵∠CAD=15°，
∴∠DAE=∠BAC=45°，∠BAF=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-30°-30°=120°，
∴∠DFG=∠AFB=120°。
在△DFG中，∠1=180°-∠D-∠DFG=180°-30°-120°=30°。
答：∠1的度数为30°。

11. 如图,$A$,$D$,$E$三点在同一直线上,且$\triangle BAD \cong \triangle ACE$.
(1)试说明$BD = DE + CE$.
(2)当$\triangle ABD$满足什么条件时,$BD // CE$？

答案：
(1)证明：
∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE。
∵A，D，E三点在同一直线上，
∴AE=AD+DE。
∵AD=CE，
∴AE=CE+DE，
∴BD=DE+CE。
(2)解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE。
理由：
∵△BAD≌△ACE，
∴∠ADB=∠CEA。
∵∠ADB=90°，
∴∠CEA=90°。
∵∠ADB+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°-∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠CEA，
∴BD//CE。

12. 如图,在平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,$A(3,0)$,$B(2,2)$,以$O$,$A$,$C为顶点的三角形与\triangle OAB$全等(点$C$,$B$不重合),则满足条件的点$C$的坐标为$(2, - 2)$或$( - 1,2)$或$( - 1,-2)$.

答案： 1. 首先，根据全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。已知$\triangle OAB$中，$OA = 3$，$OB=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{(3 - 2)^{2}+(0 - 2)^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
因为$\triangle OAC\cong\triangle OAB$（情况一）：
当$OA$与$OA$是对应边，$OB$与$OC$是对应边，$AB$与$AC$是对应边时：
已知$B(2,2)$，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x, - y)$，此时$C$点坐标为$(2,-2)$。
因为$\triangle OAC\cong\triangle BAO$（情况二）：
当$OA$与$BA$是对应边，$OB$与$AC$是对应边，$AB$与$OC$是对应边时：
设$C(x,y)$，根据平移或向量的方法，$\overrightarrow{OB}=(2,2)$，$\overrightarrow{OA}=(3,0)$。
由$\triangle OAC\cong\triangle BAO$，根据全等三角形的坐标变换，$C$点坐标为$( - 1,2)$（将$\triangle OAB$向左平移$3$个单位长度，再根据全等关系得到）。
当$OA$与$AB$是对应边，$OB$与$AC$是对应边，$AB$与$OA$是对应边时：
根据关于$y$轴对称的点的坐标特征$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，此时$C$点坐标为$( - 1,-2)$。
所以满足条件的点$C$的坐标为$(2, - 2)$或$( - 1,2)$或$( - 1,-2)$。

13. 按要求画全等形：
(1)如图1,在方格纸中,$\triangle ABC$的三个顶点分别在小正方形的顶点上,请你在图中再画一个顶点都在小正方形顶点上的$\triangle DEF$,使$\triangle DEF \cong \triangle ABC$.

(2)图2是三个边长为1的正方形拼成的一个L形图案,请你将它分成4个全等的图形(用实线标出).

答案： 1. （1）
解：根据全等三角形的判定（$SSS$：三边对应相等的两个三角形全等），$\triangle ABC$三边的长度可以通过方格纸计算（设小正方形边长为$1$）。$AB=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{10}$，$BC = 4$。
我们可以通过平移、旋转等方式得到$\triangle DEF$。例如，将$\triangle ABC$向右平移$2$个单位，再向上平移$2$个单位（答案不唯一）。
2. （2）
解：因为三个边长为$1$的正方形拼成的$L$形图案，总面积为$3×1×1 = 3$，要分成$4$个全等的图形，则每个图形的面积为$\frac{3}{4}$。
我们可以先把每个正方形平均分成$4$个小正方形（边长为$\frac{1}{2}$），然后组合成全等图形。具体分法：将$L$形图案的左上角正方形分成$4$个小正方形，然后按照一定的顺序连接（如图，先把$L$形图案的左上角正方形沿两条对边中点连线分成$4$个小正方形，再将其他部分对应分割，分割线为实线）。
（由于这里无法直接绘制图形，你可以根据上述思路在方格纸上完成图形绘制）。