《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

9.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE.求证:AE//BC.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°。
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°。
∴∠ACB=∠DCE。
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCB=∠ACE。
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\ \angle ACE=\angle BCD\\ CE=CD\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
∴∠CAE=∠B。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∠ACB=60°。
∴∠CAE=∠ACB。
∴AE//BC。

10.如图,在等边△ABC中,点D在BC延长线上,CE平分∠ACD,且CE= BD.求证:△ADE是等边三角形.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle B=\angle ACE\\ BD=CE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=60°，即∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形。

11.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为60°;
②线段AD,BE之间的数量关系是AD=BE.
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE= 90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
∠AEB=90°，AE=BE+2CM
证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
∴AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为DE边上的高
∴CM=DM=ME，∠CDE=∠CED=45°
∵点A,D,E在同一直线上
∴∠ADC=135°
∴∠BEC=135°
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°
∵AE=AD+DE，DE=2CM，AD=BE
∴AE=BE+2CM

答案：
(1)①60°
②AD=BE
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM
证明：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
∴AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为DE边上的高
∴CM=DM=ME，∠CDE=∠CED=45°
∵点A,D,E在同一直线上
∴∠ADC=135°
∴∠BEC=135°
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°
∵AE=AD+DE，DE=2CM，AD=BE
∴AE=BE+2CM