《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

10.数学老师布置了一道数学题:化简$(x+y)(x-y)-(x-y)^{2}$.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程:
|甲同学|乙同学|
|解:原式$=x^{2}-y^{2}-(x^{2}-2xy+y^{2})=… $|解:原式$=(x-y)[(x+y)-(x-y)]=… $|

(1)对于甲、乙同学的第一步计算,表述正确的是A.
A.甲是整式的乘法,乙是因式分解
B.甲、乙都是整式的乘法
C.甲是因式分解,乙是整式的乘法
D.甲、乙都是因式分解
(2)请选择其中一位同学的解法,写出完整的解答过程.
选择甲同学的解法：
解：原式$=x^{2}-y^{2}-(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}$
$=2xy - 2y^{2}$
或选择乙同学的解法：
解：原式$=(x - y)[(x + y)-(x - y)]$
$=(x - y)(x + y - x + y)$
$=(x - y)(2y)$
$=2xy - 2y^{2}$

答案：
(1)A
(2)选择甲同学的解法：
解：原式$=x^{2}-y^{2}-(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}$
$=2xy - 2y^{2}$
或选择乙同学的解法：
解：原式$=(x - y)[(x + y)-(x - y)]$
$=(x - y)(x + y - x + y)$
$=(x - y)(2y)$
$=2xy - 2y^{2}$

11.已知$xy= 15$,且满足$(x^{2}y-xy^{2})-(x-y)= 28$.
(1)求$x-y$的值;
(2)求$x^{2}+y^{2},x+y$的值.

答案：
(1)
解：
$\begin{aligned}(x^{2}y - xy^{2}) - (x - y) &= 28 \\xy(x - y) - (x - y) &= 28 \\(x - y)(xy - 1) &= 28\end{aligned}$
∵ $xy = 15$，代入上式得：
$(x - y)(15 - 1) = 28 \implies 14(x - y) = 28 \implies x - y = 2$
(2)
解：
$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2xy = 2^{2} + 2 × 15 = 4 + 30 = 34$
$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 34 + 30 = 64 \implies x + y = \pm 8$
答案：
(1) $2$；
(2) $34$，$\pm 8$

12.已知$(2x-21)(3x-7)+(7-3x)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b)$,其中a,b均为整数,则$a+3b$的值为-31.

答案： 解：$\begin{aligned}&(2x - 21)(3x - 7) + (7 - 3x)(x - 13)\\=&(2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13)\\=&(3x - 7)[(2x - 21) - (x - 13)]\\=&(3x - 7)(2x - 21 - x + 13)\\=&(3x - 7)(x - 8)\end{aligned}$
因为原式可分解为$(3x + a)(x + b)$，所以$a = -7$，$b = -8$。
则$a + 3b = -7 + 3×(-8) = -7 - 24 = -31$。
$-31$

13.阅读下列因式分解的过程,再解答所提出的问题:
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^{2}(1+x)$
$=(1+x)^{3}$.
(1)上述因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次;
(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+x(x+1)^{3}$,则需应用上述方法3次,结果是$(1+x)^{4}$;
(3)因式分解:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+…+x(x+1)^{n}$(n 为正整数)的结果是$(1+x)^{n+1}$.

答案：
(1)提公因式法；2
(2)3；$(1+x)^{4}$
(3)$(1+x)^{n+1}$