《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

9.如图,AD 是△ABC 的中线,DH⊥AB 于点 H,DG⊥AC 于点 G,AB= 7 cm,AC= 6 cm,DH= 3 cm,求 DG 的长.

答案： 解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，
∵DH⊥AB，DG⊥AC，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DH，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DG，
∵AB=7cm，AC=6cm，DH=3cm，
∴$\frac{1}{2}$×7×3=$\frac{1}{2}$×6·DG，
解得DG=3.5cm．
答：DG的长为3.5cm．

10.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE//AC,DE 交 AB 于点 E,DF//AB,DF 交 AC 于点 F.图中∠1 与∠2 有什么关系？请说明理由.

答案： 【解析】：本题考查平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质。
已知$DE// AC$，$DF// AB$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle 1=\angle CAD$，$\angle 2=\angle BAD$。
又因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
根据角平分线的定义，可知$\angle BAD=\angle CAD$。
所以通过等量代换可得$\angle 1=\angle 2$。
另外，因为$DE// AC$，$DF// AB$，
所以四边形$AEDF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
由$\angle BAD=\angle CAD$，且$DF// AB$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAD=\angle ADF$，
所以$\angle CAD=\angle ADF$（等量代换）。
根据等角对等边，可得$AF = DF$。
所以平行四边形$AEDF$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角，
也可得出$AD$平分$\angle EDF$，即$\angle 1=\angle 2$。
【答案】：$\angle 1=\angle 2$，理由：
因为$DE// AC$，$DF// AB$，
所以$\angle 1=\angle CAD$，$\angle 2=\angle BAD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
所以$\angle BAD=\angle CAD$（角平分线的定义）。
故$\angle 1=\angle 2$（等量代换）。

11.如图,在△ABC 中,AB= 10 cm,AC= 6 cm,D 是 BC 的中点,点 E 在边 AB 上.若△BDE 与四边形 ACDE 的周长相等,求线段 AE 的长.

答案： 解：设AE的长为x cm，则BE=AB-AE=(10-x)cm。
因为D是BC的中点，所以BD=DC。
△BDE的周长=BE+BD+DE=(10-x)+BD+DE，
四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE=x+6+DC+DE。
由于△BDE与四边形ACDE的周长相等，且BD=DC，DE为公共边，
所以(10-x)+BD+DE=x+6+DC+DE，
化简得10-x=6+x，
解得x=2。
答：线段AE的长为2 cm。

12.在△ABC 中,AC= 7,BC 边上的中线 AD 把△ABC 分成周长差为 5 的两个三角形,则 AB 的长为(D)
A.2
B.19
C.2 或 19
D.2 或 12

答案： 解：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ABD周长=AB+BD+AD，△ACD周长=AC+CD+AD，
∵BD=CD，
∴|△ABD周长 - △ACD周长|=|AB - AC|=5。
∵AC=7，
∴|AB - 7|=5，
∴AB - 7=5或AB - 7=-5，
解得AB=12或AB=2。
当AB=12时，AB+AC=12+7=19，BC需满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，成立；
当AB=2时，AC+AB=7+2=9，BC需满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，成立。
∴AB的长为2或12。
答案：D

13.如图,已知 D,E 分别是△ABC 的 AB 边与 AC 边的中点,你能利用所学知识说明△ADE 的面积等于△ABC 的面积的$\frac{1}{4}$吗？

答案： 【解析】：本题考查三角形中线的性质，利用中线将三角形分为面积相等的两部分这一性质，通过多次应用该性质来求解$\bigtriangleup ADE$与$\bigtriangleup ABC$面积的关系。
因为$D$是$AB$的中点，根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分这一性质，可知$AD = \frac{1}{2}AB$，那么$\bigtriangleup ADC$与$\bigtriangleup ABC$有相同的高（顶点$C$到$AB$的距离），根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\bigtriangleup ADC}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ABC}$。
又因为$E$是$AC$的中点，同理$AE=\frac{1}{2}AC$，$\bigtriangleup ADE$与$\bigtriangleup ADC$有相同的高（顶点$D$到$AC$的距离），所以$S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ADC}$。
将$S_{\bigtriangleup ADC}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ABC}$代入$S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ADC}$中，可得$S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{4}S_{\bigtriangleup ABC}$。
【答案】：证明：
∵$D$是$AB$的中点，
∴$AD = \frac{1}{2}AB$，
∴$S_{\bigtriangleup ADC}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ABC}$（等底等高的三角形面积相等）。
∵$E$是$AC$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AC$，
∴$S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ADC}$（等底等高的三角形面积相等）。
∴$S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{4}S_{\bigtriangleup ABC}$。