《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

10.(2024·淄博)如图,已知AB= CD,点E,F在线段BD上,且AF= CE.
请从①BF= DE;②∠BAF= ∠DCE;③AF= CF中.选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是:①(只填写一个序号).
添加条件后,请证明AE//CF.

证明：
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF。
在△ABF和△CDE中，
AB=CD，
AF=CE，
BF=DE，
∴△ABF≌△CDE（SSS）
∴∠AFB=∠CED。
在△AFE和△CEF中，
AF=CE，
∠AFE=∠CEF，
EF=FE，
∴△AFE≌△CEF（SAS）
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF。

答案： 添加的条件是：①
证明：
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF。
在△ABF和△CDE中，
AB=CD，
AF=CE，
BF=DE，
∴△ABF≌△CDE（SSS）
∴∠AFB=∠CED。
在△AFE和△CEF中，
AF=CE，
∠AFE=∠CEF，
EF=FE，
∴△AFE≌△CEF（SAS）
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF。

11.如图,在锐角△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AD上,DE= DC,BE= AC,F为BC的中点,连接EF并延长至点M,使FM= EF,连接CM.求证:
(1)△BDE≌△ADC;
(2)AC⊥MC.

答案：
(1)证明：
∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°。在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵BE=AC，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)。
(2)证明：
∵F为BC中点，
∴BF=CF。在△BFE和△CFM中，
∵BF=CF，∠BFE=∠CFM，FM=EF，
∴△BFE≌△CFM(SAS)。
∴∠BEF=∠M，
∴BE//MC。由
(1)知△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠C。
∵∠BDE=90°，
∴∠BED+∠EBD=90°，
∴∠C+∠EBD=90°。
∵BE//MC，
∴∠EBD=∠MCD，
∴∠C+∠MCD=90°，即∠ACM=90°，
∴AC⊥MC。

12.(2024·绵阳)如图,在△ABC中,AB= 5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为(B)

A.1
B.2
C.3
D.5

答案： 解：过点D作DF⊥AB于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF。
∵S_△ABD=5，AB=5，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DF=5，
即$\frac{1}{2}$×5×DF=5，解得DF=2。
∴DE=DF=2。
答案：B

13.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE= AB,∠BAC= ∠BCA,求证:AE= 2AD.

答案： 证明：延长AD至点F，使DF=AD，连接CF。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△FCD中，
∵AD=FD，∠ADB=∠FDC，BD=CD，
∴△ABD≌△FCD（SAS）。
∴AB=FC，∠B=∠FCD。
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC。
∵CE=AB，
∴CE=BC=FC。
∵∠ACE=∠BAC+∠B，∠ACF=∠BCA+∠FCD，
又∠BAC=∠BCA，∠B=∠FCD，
∴∠ACE=∠ACF。
在△ACE和△ACF中，
∵AC=AC，∠ACE=∠ACF，CE=CF，
∴△ACE≌△ACF（SAS）。
∴AE=AF。
∵AF=AD+DF=2AD，
∴AE=2AD。