《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

10.如图,在△ABC 中,∠A= 40°,∠B= 72°,CD 是 AB 边上的高,CE 是∠ACB 的平分线,DF⊥CE 于点 F,求∠BCE 和∠CDF 的度数.

答案： 解：在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-72°=68°。
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE=∠ACB/2=68°/2=34°。
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在△BCD中，∠BCD=180°-∠B-∠CDB=180°-72°-90°=18°，
∠ECD=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°。
∵DF⊥CE，
∴∠DFC=90°，
在△CDF中，∠CDF=180°-∠DFC-∠ECD=180°-90°-16°=74°。
∠BCE=34°，∠CDF=74°。

11.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点 C 作 CF 平分∠DCE,交 DE 于点 F.
(1)求证：CF//AB；
(2)求∠DFC 的度数.

答案：
(1)证明：由三角板性质可知，∠DCE=90°，∠BAC=45°。
因为CF平分∠DCE，所以∠1=∠2=∠DCE/2=45°。
所以∠1=∠BAC，因此CF//AB。
(2)解：由三角板性质可知，∠D=30°，∠DCE=90°。
因为CF平分∠DCE，所以∠2=∠DCE/2=45°。
在△DFC中，∠DFC=180°-∠D-∠2=180°-30°-45°=105°。

12.(2022·哈尔滨)在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠ABC= 30°,∠CAD= 20°,则∠BAC 的度数是______40°或80°.

答案： 解：情况一：AD在△ABC内部。
∵AD为BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，∠CAD=20°，
∴∠C=90°-20°=70°。
在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-30°-70°=80°。
情况二：AD在△ABC外部。
∵AD为BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，∠CAD=20°，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∴∠ACB=180°-70°=110°。
在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=110°，
∴∠BAC=180°-30°-110°=40°。
综上，∠BAC的度数是40°或80°。

13.如图 1,线段 AB,CD 相交于点 O,连接 AD,CB.如图 2,在图 1 的条件下,∠DAB 和∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P,并且与 CD,AB 分别相交于点 M,N.试解答下列问题：
(1)在图 1 中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D 之间的数量关系：∠A+∠D=∠B+∠C；
(2)在图 2 中,若∠D= 42°,∠B= 38°,试求∠P 的度数；(写出解答过程)
解：由(1)得∠DAB+∠D=∠BCD+∠B，∠DAB-∠BCD=∠B-∠D=38°-42°=-4°
∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD
∴∠2=∠DAB/2，∠3=∠BCD/2
在△ADM和△CPM中，∠D+∠DAB/2=∠P+∠BCD/2
∴∠P=∠D+(∠DAB-∠BCD)/2=42°+(-4°)/2=40°
(3)若图 2 中∠D 和∠B 为任意角,其他条件不变,试直接写出∠P 与∠D,∠B 之间的数量关系.∠P=(∠B+∠D)/2

答案：
(1)∠A+∠D=∠B+∠C
(2)解：由
(1)得∠DAB+∠D=∠BCD+∠B，∠DAB-∠BCD=∠B-∠D=38°-42°=-4°
∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD
∴∠2=∠DAB/2，∠3=∠BCD/2
在△ADM和△CPM中，∠D+∠DAB/2=∠P+∠BCD/2
∴∠P=∠D+(∠DAB-∠BCD)/2=42°+(-4°)/2=40°
(3)∠P=(∠B+∠D)/2