《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

11.用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边长分别是多少?
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么?

答案： 【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。
(1) 设底边长为 $x$ cm，则腰长为 $2x$ cm。
由等腰三角形的性质，两腰相等，所以两腰的总长为 $2 × 2x = 4x$ cm。
三角形的周长为底边加两腰，即 $x + 4x = 18$。
解这个方程，得到 $5x = 18$，从而 $x = \frac{18}{5} = 3.6$。
将 $x = 3.6$ 带入腰长，得到腰长为 $2 × 3.6 = 7.2$ cm。
所以，等腰三角形的各边长为：底边 $3.6$ cm，两腰各 $7.2$ cm。
(2) 分两种情况考虑：
当 $4$ cm 是底边时，腰长为 $\frac{18 - 4}{2} = 7$ cm。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，所以 $4 + 7 ＞ 7$，$7 + 7 ＞ 4$，$4 + 7 ＞ 7$，满足三角形的三边关系。
当 $4$ cm 是腰长时，底边为 $18 - 2 × 4 = 10$ cm。
但根据三角形的三边关系，$4 + 4 ＜ 10$，不满足三角形的三边关系，所以不能构成三角形。
综上，能围成底边是 $4$ cm，腰长是 $7$ cm的等腰三角形。
【答案】：
(1) $7.2$ cm，$7.2$ cm，$3.6$ cm；
(2) 能，因为当 $4$ cm 是底边时，腰长为 $7$ cm，满足三角形的三边关系。

12.(2022·益阳)如图1,将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧矩形的宽相等.若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是 (B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：由题意知，矩形纸片长为6，折成3个矩形后左右两侧宽为a，则中间矩形的长为6 - 2a。
围成三棱柱时，左右两侧矩形的长与中间矩形的长构成三棱柱底面三角形的三边，三边长度分别为a、a、6 - 2a。
根据三角形三边关系：
1. $a + a ＞ 6 - 2a$，解得$4a ＞ 6$，$a ＞ 1.5$；
2. $a + (6 - 2a) ＞ a$，解得$6 - a ＞ a$，$6 ＞ 2a$，$a ＜ 3$。
综上，$1.5 ＜ a ＜ 3$，选项中符合条件的是2。
答案：B

13.已知a,b,c为三角形的三边长,试化简式子:|a+b-c|-|c-a+b|+|b-c-a|.

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形的三边关系以及绝对值的化简。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以有：
$a + b \gt c$
$c + b \gt a$ 即 $c - a \lt b$，也就是 $c - a + b \gt 0$
$a + c \gt b$ 即 $b - a - c \lt 0$
根据绝对值的定义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
所以我们可以将原式中的绝对值进行化简：
$\;\;\;\;|a+b-c|-|c-a+b|+|b-c-a|$
$= (a + b - c) - (c - a + b) - (b - c - a)$ （根据三角形的三边关系和绝对值的定义进行化简）
$= a + b - c - c + a - b - b + c + a$ （去括号）
$= 3a - b - c$ （合并同类项）
【答案】：
$3a - b - c$