15．(一中)如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(I)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(II)如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

解：(I)以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为

　　　 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

　　　 又∵， ∴AC⊥BC

　　　 又∵|BC|＝2|AC|　 ∴|OC|＝|AC|

　　　 ∴△AOC为等腰直角三角形　

　　　 ∴点C的坐标为(1，1)　 ∴点B的坐标为(－1，－1)

　　　 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，

　　　 则求得椭圆方程为　　　

　　　 (II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　　 由　 得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0 *)

　　　 ∵点C(1，1)在椭圆上，

　　　 ∴x＝1是方程(*)的一个根，∴x_P•1＝即x_P＝

　　　 同理x_Q＝　

　　　 ∴直线PQ的斜率为(定值)

又∠ACB的平分线也垂直于OA

　　　 ∴直线PQ与AB的斜率相等(∵k_AB=)

　　　 ∴向量，即总存在实数，使成立．