《2026年学易优高考二轮总复习物理》

9.(2025·河南新乡模拟预测)如图,光滑水平面上有一弹簧,左端固定,右端与质量$m=1\ kg$的小球接触。小球右侧静置一质量$M=2\ kg$、半径$R=0.3\ m$的四分之一光滑圆弧轨道。现推动小球使其向左压缩弹簧,松手后,小球脱离弹簧,冲上右侧轨道,小球恰好能到达圆弧的最高点。取重力加速度大小$g=10\ m/s^2$,求:

(1)小球脱离弹簧时的速度大小；
(2)整个过程中,圆弧轨道最大速度的大小；
(3)小球在下滑阶段,当其和圆心$O$的连线与竖直方向的夹角$\theta=30°$时,轨道的速度大小。

答案： 9.答案：
(1)$3m/s$
(2)$2m/s$
(3)$1.8m/s$
解析：
(1)设小球与轨道共速时的速度为$v$，水平方向上动量守恒，有$m v_0 = (m + M) v$，根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) v^2 + mgR$，解得$v_0 = 3m/s$。
(2)小球运动到圆弧轨道最低点时，轨道速度最大，设此时小球的速度为$v_1$，轨道的速度为$v_2$。由水平方向上动量守恒，有$m v_0 = m v_1 + M v_2$，根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} M v_2^2$，解得$v_1 = -1m/s$，$v_2 = 2m/s$，所以整个过程中，圆弧轨道最大速度的大小为$2m/s$。
(3)设小球在下滑阶段，和圆心$O$的连线与竖直方向的夹角$\theta = 30°$时，小球的水平分速度大小为$v_x$，竖直分速度大小为$v_y$，此时圆弧轨道的速度为$v_3$，则有$\tan 30° = \frac{v_y}{v_x + v_3}$；对小球和圆弧组成系统，以向右为正方向，在水平方向上动量守恒，有$m v_0 = -m v_x + M v_3$，由能量守恒定律，有$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) + \frac{1}{2} M v_3^2 + mgR (1 - \cos 30°)$，联立解得$v_3 = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}} + 1m/s \approx 1.8m/s$。

10.平面直角坐标系$xOy$中,第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场,第Ⅲ象限存在沿$y$轴负方向的匀强电场,如图所示。一带负电的粒子从电场中的$Q$点以速度$v_0$沿$x$轴正方向开始运动,$Q$点到$y$轴的距离为到$x$轴距离的$2$倍。粒子从坐标原点$O$离开电场进入磁场,最终从$x$轴上的$P$点射出磁场,$P$点到$y$轴距离与$Q$点到$y$轴距离相等。不计粒子重力,问:

(1)粒子到达$O$点时速度的大小和方向；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。

答案：
10.答案：
(1)$\sqrt{2} v_0$ 方向与$x$轴正方向成$45°$角斜向上
(2)$\frac{v_0}{2}$
解析：
(1)粒子运动轨迹如图所示。

粒子在电场中由$Q$到$O$做类平抛运动，设$O$点速度$v$与$x$方向夹角为$\alpha$，$Q$点到$x$轴的距离为$L$，到$y$轴的距离为$2L$，粒子的加速度为$a$，运动时间为$t$，根据平抛运动的规律有$x$方向$2L = v_0 t$，$y$方向$L = \frac{1}{2} a t^2$，粒子到达$O$点时沿$y$轴方向的分速度$v_y = a t$，又$\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x}$，解得$\tan \alpha = 1$，即$\alpha = 45°$，即粒子到达$O$点时速度方向与$x$轴正方向成$45°$斜向上，速度大小为$v = \frac{v_0}{\cos 45°} = \sqrt{2} v_0$。
(2)设电场强度为$E$，粒子电荷量为$q$，质量为$m$，粒子在电场中受到的电场力为$F$，粒子在电场中运动的加速度$a = \frac{qE}{m}$，设磁感应强度大小为$B$，粒子做匀速圆周运动的半径为$r$，洛伦兹力提供向心力，有$qvB = m \frac{v^2}{r}$，根据几何关系可知$r = \sqrt{2} L$，联立解得$\frac{E}{B} = \frac{v_0}{2}$。