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13.如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，直线$l_{1} // l_{2} // l_{3}$，$l_{1}$与$l_{2}$之间距离是$1$，$l_{2}$与$l_{3}$之间距离是$2$，且$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$分别经过点$A$，$B$，$C$，则边$AC$的长为
$\frac{2}{3}\sqrt{21}$
.
答案：
13.$\frac{2}{3}\sqrt{21}$
14.如图，$\bigtriangleup ABC$是边长为$6\ cm$等边三角形，动点$P$，$Q$同时从$A$，$B$出发，分别沿$AB$，$BC$方向匀速运动，其中点$P$运动的速度是$1\ cm/s$，点$Q$运动的速度是$2\ cm/s$.当点$Q$到达点$C$时，$P$，$Q$两点停止运动.在运动过程中作$QR // BA$，交$AC$于点$R$，连接$PR$，设运动的时间为$t(s)$，当$t =$
1.2
$s$时，$\bigtriangleup APR \backsim \bigtriangleup PRQ$.
答案：
14.1.2
15.(10分)如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，且$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$.
(1)求证：$\bigtriangleup ACD \backsim \bigtriangleup CBD$；
(2)求$\angle ACB$的大小.
(1)求证：$\bigtriangleup ACD \backsim \bigtriangleup CBD$；
(2)求$\angle ACB$的大小.
答案：
15.
(1)证明：因为CD是边AB上的高，
所以∠ADC = ∠CDB = 90°.
因为$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
所以△ACD∽△CBD.
(2)解：因为△ACD∽△CBD，
所以∠A = ∠BCD.
在△ACD中，因为∠ADC = 90°，
所以∠A + ∠ACD = 90°，
所以∠BCD + ∠ACD = 90°，
即∠ACB = 90°.
(1)证明：因为CD是边AB上的高，
所以∠ADC = ∠CDB = 90°.
因为$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
所以△ACD∽△CBD.
(2)解：因为△ACD∽△CBD，
所以∠A = ∠BCD.
在△ACD中，因为∠ADC = 90°，
所以∠A + ∠ACD = 90°，
所以∠BCD + ∠ACD = 90°，
即∠ACB = 90°.
16.(10分)如图，$\angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ}$，$DB$平分$\angle ADC$，过点$B$作$BM // CD$交$AD$于$M$.连接$CM$交$DB$于$N$.
(1)求证：$BD^{2} = AD · CD$；
(2)若$CD = 6$，$AD = 8$，求$MN$的长.
(1)求证：$BD^{2} = AD · CD$；
(2)若$CD = 6$，$AD = 8$，求$MN$的长.
答案：
16.
(1)证明：因为DB平分∠ADC，
所以∠ADB = ∠CDB，且∠ABD = ∠BCD = 90°，
所以△ABD∽△BCD，
所以$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
所以BD² = AD·CD.
(2)解：因为BM//CD，
所以∠MBD = ∠BDC，
所以∠ADB = ∠MBD，且∠ABD = 90°，
所以BM = MD，∠MAB = ∠MBA，
所以BM = MD = AM = 4.
因为BD² = AD·CD，且CD = 6，AD = 8，
所以BD² = 48，
所以BC² = BD² - CD² = 12，
所以MC² = MB² + BC² = 28，
所以MC = 2$\sqrt{7}$.
因为BM//CD，
所以△MNB∽△CND，
所以$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}=\frac{2}{3}$，且MC = 2$\sqrt{7}$，
所以MN = $\frac{4}{5}\sqrt{7}$.
(1)证明：因为DB平分∠ADC，
所以∠ADB = ∠CDB，且∠ABD = ∠BCD = 90°，
所以△ABD∽△BCD，
所以$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
所以BD² = AD·CD.
(2)解：因为BM//CD，
所以∠MBD = ∠BDC，
所以∠ADB = ∠MBD，且∠ABD = 90°，
所以BM = MD，∠MAB = ∠MBA，
所以BM = MD = AM = 4.
因为BD² = AD·CD，且CD = 6，AD = 8，
所以BD² = 48，
所以BC² = BD² - CD² = 12，
所以MC² = MB² + BC² = 28，
所以MC = 2$\sqrt{7}$.
因为BM//CD，
所以△MNB∽△CND，
所以$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}=\frac{2}{3}$，且MC = 2$\sqrt{7}$，
所以MN = $\frac{4}{5}\sqrt{7}$.
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