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18. (14 分)关于 x 的一元二次方程 $kx^{2}+(k+2)x+\frac {k}{4}=0$ 有两个不相等的实根.
(1)求 k 的取值范围.
(2)是否存在实数 k,使方程的两个实根的倒数和等于 0?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.
(1)求 k 的取值范围.
(2)是否存在实数 k,使方程的两个实根的倒数和等于 0?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.
答案：
18.解：
(1)由$\Delta=(k + 2)^{2}-4k×\frac{k}{4}＞0$，得$k＞-1$.
又因为$k\neq0$，
所以$k$的取值范围是$k＞-1$且$k\neq0$.
(2)不存在符合条件的实数$k$.理由如下：
设关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+(k + 2)x+\frac{k}{4}=0$的两个实根分别为$x_1$,$x_2$.
由根与系数的关系，得
$x_1 + x_2=-\frac{k + 2}{k}$,$x_1x_2=\frac{1}{4}$.
要使$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=0$，则$-\frac{4(k + 2)}{k}=0$，
所以$k = - 2$.
由
(1)，知$k = - 2$时，$\Delta＜0$，原方程无实根，
所以不存在符合条件的实数$k$.
(1)由$\Delta=(k + 2)^{2}-4k×\frac{k}{4}＞0$，得$k＞-1$.
又因为$k\neq0$，
所以$k$的取值范围是$k＞-1$且$k\neq0$.
(2)不存在符合条件的实数$k$.理由如下：
设关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+(k + 2)x+\frac{k}{4}=0$的两个实根分别为$x_1$,$x_2$.
由根与系数的关系，得
$x_1 + x_2=-\frac{k + 2}{k}$,$x_1x_2=\frac{1}{4}$.
要使$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=0$，则$-\frac{4(k + 2)}{k}=0$，
所以$k = - 2$.
由
(1)，知$k = - 2$时，$\Delta＜0$，原方程无实根，
所以不存在符合条件的实数$k$.
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