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14. 如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$AH \perp BC$于点$H$,若$AC = 24$,$AH = 18$,$\odot O$的半径$OC = 13$,则$AB =$
$\frac{39}{2}$
.
答案：
14.$\frac{39}{2}$
15. 如图,在$\odot O$中,弦$AB = 1$,点$C$在$AB$上移动,连接$OC$,过点$C$作$CD \perp OC$交$\odot O$于点$D$,则$CD$的最大值为
$\frac{1}{2}$
.
答案：
15.$\frac{1}{2}$
16. 如图,$C$为半圆内一点,$O$为圆心,直径$AB$长为$2 cm$,$\angle BOC = 60^{\circ}$,$\angle BCO = 90^{\circ}$,将$\triangle BOC$绕圆心$O$逆时针旋转至$\triangle B'OC'$,点$C'$在$OA$上,则边$BC$扫过区域(图中阴影部分)的面积为
$\frac{1}{4}$π
$ cm^2$.(结果保留$\pi$)
答案：
16.$\frac{1}{4}$π
17. (14 分)如图,$\angle BAC$的平分线交$\triangle ABC$的外接圆于点$D$,$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$.
(1) 求证:$DE = DB$;
(2) 若$\angle BAC = 90^{\circ}$,$BD = 4$,求$\triangle ABC$外接圆的半径.
(1) 求证:$DE = DB$;
(2) 若$\angle BAC = 90^{\circ}$,$BD = 4$,求$\triangle ABC$外接圆的半径.
答案：
17.
(1)证明:因为AD平分∠BAC,BE平分∠ABC，
所以∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,
所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$
所以∠DBC=∠CAD,
所以∠DBC=∠BAE.
因为∠DBE=∠CBE + ∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,
所以∠DBE=∠DEB,
所以DE=DB.
(2)解:连接CD，如图所示.
由
(1)得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$
所以CD=BD=4.
因为∠BAC=90°,
所以BC是直径，
所以∠BDC=90°,
所以BC=$\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$=4$\sqrt{2}$
所以△ABC外接圆的半径=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$
17.
(1)证明:因为AD平分∠BAC,BE平分∠ABC，
所以∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,
所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$
所以∠DBC=∠CAD,
所以∠DBC=∠BAE.
因为∠DBE=∠CBE + ∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,
所以∠DBE=∠DEB,
所以DE=DB.
(2)解:连接CD，如图所示.
由
(1)得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$
所以CD=BD=4.
因为∠BAC=90°,
所以BC是直径，
所以∠BDC=90°,
所以BC=$\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$=4$\sqrt{2}$
所以△ABC外接圆的半径=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$
18. (16 分)如图,$AB$为$\odot O$的直径,过圆上一点$D$作$\odot O$的切线$CD$交$BA$的延长线于点$C$,过点$O$作$OE // AD$,$OE$交$CD$于点$E$,连接$BE$.
(1) 求证:直线$BE$与$\odot O$相切;
(2) 若$CA = 2$,$CD = 4$,求$DE$的长.
(1) 求证:直线$BE$与$\odot O$相切;
(2) 若$CA = 2$,$CD = 4$,求$DE$的长.
答案：
18.
(1)证明:连接OD.
因为CD与⊙O相切于点D,
所以∠ODE=90°.
因为AD//OE，
所以∠ADO=∠DOE，
∠DAO=∠EOB.
因为OD=OA，
所以∠ADO=∠DAO,
所以∠DOE=∠EOB.
因为OD=OB,OE=OE,
所以△DOE≌△BOE(SAS),
所以∠OBE=∠ODE=90°.
因为OB是⊙O的半径，
所以直线BE与⊙O相切.
(2)解:设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中,OD²+DC²=OC²,
所以r²+4²=(r+2)²,
所以r=3，
所以AB=2r=6，
所以BC=AC+AB=2+6=8.
由
(1)得△DOE≌△BOE，
所以DE=BE.
在Rt△BCE中,BC²+BE²=CE²,
所以8²+BE²=(4+DE)²,
所以DE=6，
所以DE的长为6.
18.
(1)证明:连接OD.
因为CD与⊙O相切于点D,
所以∠ODE=90°.
因为AD//OE，
所以∠ADO=∠DOE，
∠DAO=∠EOB.
因为OD=OA，
所以∠ADO=∠DAO,
所以∠DOE=∠EOB.
因为OD=OB,OE=OE,
所以△DOE≌△BOE(SAS),
所以∠OBE=∠ODE=90°.
因为OB是⊙O的半径，
所以直线BE与⊙O相切.
(2)解:设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中,OD²+DC²=OC²,
所以r²+4²=(r+2)²,
所以r=3，
所以AB=2r=6，
所以BC=AC+AB=2+6=8.
由
(1)得△DOE≌△BOE，
所以DE=BE.
在Rt△BCE中,BC²+BE²=CE²,
所以8²+BE²=(4+DE)²,
所以DE=6，
所以DE的长为6.
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