《2025年同步练习册分层检测卷八年级数学上册青岛版》

22.(本题满分 10 分)
【阅读理解】
信息 1:任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，是因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$。
信息 2:因为$\sqrt{5}$介于 2 和 3 之间，所以$\sqrt{5}$的整数部分是 2，小数部分可以表示为$\sqrt{5} - 2$。
【问题解决】
(1)$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{13}-3$;
(2)判断$\sqrt{70} + 1$介于哪两个相邻的整数之间;
(3)若$\sqrt{30} - 3 = x + y$，其中$x$是整数，且$0 ＜ y ＜ 1$，则$y$的相反数为$5 - \sqrt{30}$;
(4)已知$9 - \sqrt{13}$的小数部分是$m$，$9 + \sqrt{13}$的小数部分是$n$，且$(x - 1)^2 = m + n$，求$x$的值。

答案：
(1)
$\because\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
$\therefore\sqrt{13}$的整数部分是$3$，小数部分是$\sqrt{13}-3$。
(2)
$\because\sqrt{64}＜\sqrt{70}＜\sqrt{81}$，即$8 ＜ \sqrt{70} ＜ 9$，
$\therefore8 + 1＜\sqrt{70}+1＜9 + 1$，即$9＜\sqrt{70}+1＜10$，
$\therefore\sqrt{70}+1$介于$9$和$10$两个相邻的整数之间。
(3)
$\because\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{30} ＜ 6$，
$\therefore5-3＜\sqrt{30}-3＜6 - 3$，即$2＜\sqrt{30}-3＜3$，
$\because\sqrt{30}-3=x + y$，$x$是整数，$0 ＜ y ＜ 1$，
$\therefore x = 2$，$y=\sqrt{30}-3 - 2=\sqrt{30}-5$，
$y$的相反数为$5-\sqrt{30}$。
(4)
$\because3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
$\therefore9 - 4＜9-\sqrt{13}＜9 - 3$，即$5＜9-\sqrt{13}＜6$，
$\therefore m=9-\sqrt{13}-5 = 4-\sqrt{13}$；
$\because3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
$\therefore9 + 3＜9+\sqrt{13}＜9 + 4$，即$12＜9+\sqrt{13}＜13$，
$\therefore n=9+\sqrt{13}-12=\sqrt{13}-3$。
$\therefore m + n=4-\sqrt{13}+\sqrt{13}-3 = 1$。
$\because(x - 1)^2=m + n$，
$\therefore(x - 1)^2=1$，
$x - 1=\pm1$，
当$x - 1 = 1$时，$x = 2$；当$x - 1=-1$时，$x = 0$。
综上，答案依次为：
(1)$3$；$\sqrt{13}-3$；
(2)$9$和$10$；
(3)$5 - \sqrt{30}$；
(4)$0$或$2$。