《2025年同步练习册分层检测卷八年级数学上册青岛版》

18. (本题满分9分)
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD,E为垂足,EF交BC的延长线于F,连接AF。求证:∠B=∠CAF。

答案： 证明：
∵EF垂直平分AD（已知），
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）。
∵∠FDA是△ABD的外角（外角定义），
∴∠FDA=∠B+∠BAD（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
∴∠FAD=∠B+∠BAD（等量代换）。
∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）。
又
∵∠FAD=∠CAF+∠CAD（角的和差定义），
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD（等量代换）。
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠CAF（等式性质）。

19. (本题满分9分)
如图所示,FG//BC,CF⊥AB,DE⊥AB,垂足分别为点F,E。求证:∠1=∠2。

答案： 证明：
∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠CFB=∠DEB=90°（垂直的定义），
∴CF//DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠BCF（两直线平行，同位角相等），
∵FG//BC（已知），
∴∠2=∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）。