《2025年同步练习册分层检测卷八年级数学上册青岛版》

17. (本题满分8分)解方程：
(1) $\frac{x}{6 + x} = \frac{1}{4}$；
(2) $\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x^{2} - 1}$。

答案： 17.
(1)
$\begin{aligned}\frac{x}{6 + x} = \frac{1}{4}\\4x=6+x\\3x = 6\\x = 2\end{aligned}$
经检验，$x = 2$是原方程的解。
(2)
$\begin{aligned}\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x^{2} - 1}\\(x - 2)(x + 1)+(x + 3)(x - 1)=(x^{2}-1)-2\\x^{2}-x-2+x^{2}+2x-3=x^{2}-1 - 2\\x^{2}+x - 2=0\\(x + 2)(x - 1)=0\end{aligned}$
解得$x = - 2$或$x = 1$。
经检验，$x = 1$时，$x^{2}-1 = 0$，是增根，舍去。
所以原方程的解为$x = - 2$。

18. (本题满分8分)
如图，点$C$在线段$AB$上，$AD // EB$，$AC = BE$，$AD = BC$。
(1) $\triangle ACD$与$\triangle BEC$全等吗？请说明理由。
(2) 延长$DC$至点$F$，使$CF = CD$，连接$DE$。判断$DE$与$EF$的位置关系，并说明理由。

答案：
(1) 全等，理由如下：
∵AD//EB，
∴∠A=∠EBC（两直线平行，同位角相等）。
在△ACD和△BEC中，
AD=BC（已知），
∠A=∠EBC（已证），
AC=BE（已知），
∴△ACD≌△BEC（SAS）。
(2) DE⊥EF，理由如下：
由
(1)知△ACD≌△BEC，
∴CD=CE（全等三角形对应边相等）。
∵CF=CD，
∴CF=CE，
∴∠CFE=∠CEF（等边对等角）。
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED（等边对等角）。
在△DEF中，∠CDE+∠CFE+∠DEF=180°（三角形内角和定理），
又∠CDE=∠CED，∠CFE=∠CEF，∠CED+∠CEF=∠DEF，
∴∠DEF+∠DEF=180°，即2∠DEF=180°，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF。