《2025年同步练习册分层检测卷八年级数学上册青岛版》

20. (本题满分9分)
如图,AB⊥BD于点B,点E是BD上的点,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD。若∠1+∠2=90°,求证:CD⊥BD。

答案： 证明：
∵AE平分∠BAC（已知），
∴∠BAC=2∠1（角平分线的定义）．
∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠ACD=2∠2（角平分线的定义）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=2×90°=180°（等量代换）．
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∵AB⊥BD（已知），
∴∠ABD=90°（垂直的定义）．
∵AB//CD（已证），
∴∠ABD+∠CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠CDB=180°-∠ABD=180°-90°=90°（等式的性质）．
∴CD⊥BD（垂直的定义）．