《2025年同步练习册分层检测卷八年级数学上册青岛版》

19.(本题满分8分)
如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,且$\triangle ABC$的三个顶点都在格点上。
(1)画出$\triangle ABC$关于直线$l$的对称图形$\triangle A_1B_1C_1$;
(2)在直线$l$上找一点$P$,使$PB = PC$,并简述作图(画图)过程或依据;
(3)在直线$l$上找一点$Q$,使$QB + QC$的值最小。

答案：
(1)
找出点$A$、$B$、$C$关于直线$l$的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$。
点$A$关于直线$l$对称的点$A_1$，过$A$作$AM\perp l$于$M$，延长$AM$到$A_1$，使$A_1M = AM$；
同理找出$B_1$和$C_1$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。
(2)
作图过程：作线段$BC$的垂直平分线$MN$，$MN$与直线$l$的交点即为所求点$P$。
依据：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
(3)
作图过程：作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，连接$B'C$，$B'C$与直线$l$的交点即为所求点$Q$。
依据：两点之间线段最短。