《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版H版》

6. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,CD是△ABC的角平分线,AE⊥CD于点E,连接BE。若AB= 6,AC= 8,BC= 10,则△ABE的面积是2.4。

答案： 2.4

7. 如图,AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E,BF//AC交ED的延长线于点F。若BC恰好平分∠FBA,有下列结论：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED= FD= FB；④AB= AE+BF。其中正确的结论有(①②④)(填序号)。

答案： ①②④

8. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC于点G,DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F。
(1)证明：BE= CF；
(2)如果AB= a,AC= b,请用含a,b的式子表示AE,BE的长。

答案：

(1)证明:如图，连接 DB，DC.
∵DG⊥BC 且平分 BC，
∴BG=CG，∠BGD=∠CGD=90°.又
∵GD=GD，
∴△BDG≌△CDG(SAS)，
∴BD=CD.
∵AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠BED=∠AFD=90°，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF.
(2)在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ DE=DF,\end{array}\right. $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴AC+CF=AB-BE.
∵AB=a，AC=b，
∴b+BE=a-BE，
∴BE=$\frac{a-b}{2}$，
∴AE=AB-BE=a-$\frac{a-b}{2}$=$\frac{a+b}{2}$.