《2025年新课程示径学案作业设计七年级数学上册苏科版》

23. (10 分)观察下列等式：
第1个等式：$a_{1}= \frac{1}{1×3}= \frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})；$
第2个等式：$a_{2}= \frac{1}{3×5}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})；$
第3个等式：$a_{3}= \frac{1}{5×7}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})；$
第4个等式：$a_{4}= \frac{1}{7×9}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})；$
…请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：$a_{5}= $$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$；(2)用含n的代数式表示第n个等式：$a_{n}= $$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$=$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$(n为正整数)；(3)求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+… + a_{100}$的值.
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots + a_{100}$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}$
$=\frac{100}{201}$

答案：
(1)
$a_{5}=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)
$a_{n}=\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$
(3)
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots + a_{100}$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}$
$=\frac{100}{201}$