《2025年新坐标同步练习八年级数学上册人教版青海专用》

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是它的角平分线,且$BD = CD$,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$. 求证：$EB = FC$.

答案： 证明：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以 DE=DF.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以 Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
所以 EB=FC.

14. 如图,$CB = CD$,$\angle D + \angle ABC = 180^{\circ}$,$CE\perp AD于点E$.

(1) 求证：$AC平分\angle DAB$；
(2) 若$AE = 10$,$DE = 4$,求$AB$的长.

答案： 解：
(1)证明：过点 C 作 CF⊥AB，交 AB 的延长线于点 F.
又因为 CE⊥AD，
所以∠DEC=∠CFB=90°.
因为∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，
所以∠D=∠CBF.
在△CDE 与△CBF 中，
$\begin{cases} ∠D=∠CBF, \\ ∠DEC=∠CFB, \\ CD=CB, \end{cases}$
所以△CDE≌△CBF(AAS)，
所以 CE=CF，
所以 AC 平分∠DAB.
(2)由
(1)可得 BF=DE=4.
在 Rt△ACE 和 Rt△ACF 中，
$\begin{cases} AC=AC, \\ CE=CF, \end{cases}$
所以 Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
所以 AE=AF=10，
所以 AB=AF - BF=6.

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle FCA的平分线BP$,$CP交于点P$,延长$BA$,$BC$,$PM\perp BE于点M$,$PN\perp BF于点N$,则下列结论：①$AP平分\angle EAC$；②$\angle ABC + 2\angle APC = 180^{\circ}$；③$\angle BAC = 2\angle BPC$；④$S_{\triangle PAC} = S_{\triangle MAP} + S_{\triangle NCP}$,其中正确结论的个数是(D)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,$DE\perp AB于点E$,点$F在AC$上,且$BD = DF$.

(1) 求证：$CF = EB$；
(2) 请你判断$AE$,$AF与BE$之间的数量关系,并说明理由.

答案： 解：
(1)证明：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
所以 DC=DE.
在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中，
$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
所以 Rt△DCF≌Rt△DEB，
所以 CF=EB.
(2)AF+BE=AE.
理由：因为 AD=AD，DC=DE，
所以 Rt△DCA≌Rt△DEA(HL)，
所以 AC=AE，
所以 AF+FC=AE，
即 AF+BE=AE.