《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一物理》

16. (12分)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比$R_{星}:R_{地}= 1:4$,地球表面重力加速度为g,设该星球表面重力加速度为$g'$,地球的质量为$M_{地}$,该星球的质量为$M_{星}$,空气阻力不计。求$g':g和M_{星}:M_{地}$。

答案： 解：设小球初速度为$v_0$。在地球表面：竖直上抛运动总时间$t = \frac{2v_0}{g}$，则$g=\frac{2v_0}{t}$。在星球表面：总时间$5t=\frac{2v_0}{g'}$，则$g'=\frac{2v_0}{5t}$。故$g':g=\frac{2v_0}{5t}:\frac{2v_0}{t}=1:5$。由万有引力等于重力：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，得$M=\frac{gR^2}{G}$。所以$M_{星}:M_{地}=\frac{g'R_{星}^2}{G}:\frac{gR_{地}^2}{G}=g'R_{星}^2:gR_{地}^2$。已知$R_{星}:R_{地}=1:4$，$g':g=1:5$，则$M_{星}:M_{地}=1×1^2:5×4^2=1:80$。结论：$g':g=1:5$，$M_{星}:M_{地}=1:80$。

17. (15分)质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧,引力常数为G。求两星球做圆周运动的周期。

答案：

解：设星球A、B做圆周运动的轨道半径分别为$r$、$R$，周期为$T$。

由题意知$r + R = L$。

两星球间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对星球A有：$G\frac{Mm}{L^{2}} = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}r$；对星球B有：$G\frac{Mm}{L^{2}} = M\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}R$。

联立可得$r = \frac{GM}{L^{2}}\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}$，$R = \frac{Gm}{L^{2}}\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}$。

将$r + R = L$代入，得$\frac{G(M + m)}{L^{2}}\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2} = L$，解得$T = 2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G(M + m)}}$。

答：两星球做圆周运动的周期为$2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G(M + m)}}$。