《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一物理》

10. 某太空探测器绕火星做匀速圆周运动,离火星表面的高度为$h$,环绕$n圈所用时间为t$,已知火星半径为$R$。求：(1)该探测器的环绕线速度$v$；(2)火星表面重力加速度$g$。

答案：

(1) 探测器环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径 $ r = R + h $，环绕 $ n $ 圈所用时间为 $ t $，则周期 $ T = \frac{t}{n} $。

根据线速度公式 $ v = \frac{2\pi r}{T} $，代入 $ r = R + h $ 和 $ T = \frac{t}{n} $，可得：

$ v = \frac{2\pi (R + h)}{\frac{t}{n}} = (R + h)\frac{2n\pi}{t} $

(2) 探测器做圆周运动，万有引力提供向心力，即 $ G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}} $，其中 $ M $ 为火星质量，$ m $ 为探测器质量。

在火星表面，物体所受重力等于万有引力，即 $ mg = G\frac{Mm}{R^{2}} $，联立可得 $ g = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{T^{2}R^{2}} $。

将 $ r = R + h $ 和 $ T = \frac{t}{n} $ 代入，得：

$ g = \frac{4\pi^{2}(R + h)^{3}}{\left(\frac{t}{n}\right)^{2}R^{2}} = \frac{4\pi^{2}n^{2}(R + h)^{3}}{t^{2}R^{2}} $

答案

(1) $ v = (R + h)\frac{2n\pi}{t} $

(2) $ g = \frac{4\pi^{2}n^{2}(R + h)^{3}}{t^{2}R^{2}} $

11. 地球绕太阳公转的角速度为$\omega_{1}$,轨道半径为$R_{1}$,月球绕地球公转的角速度为$\omega_{2}$,轨道半径为$R_{2}$,那么太阳的质量是地球质量的多少倍？

答案：

解：地球绕太阳公转，万有引力提供向心力，有$G\frac{M_{\text{太}}m_{\text{地}}}{R_{1}^{2}}=m_{\text{地}}\omega_{1}^{2}R_{1}$，解得太阳质量$M_{\text{太}}=\frac{\omega_{1}^{2}R_{1}^{3}}{G}$。

月球绕地球公转，万有引力提供向心力，有$G\frac{M_{\text{地}}m_{\text{月}}}{R_{2}^{2}}=m_{\text{月}}\omega_{2}^{2}R_{2}$，解得地球质量$M_{\text{地}}=\frac{\omega_{2}^{2}R_{2}^{3}}{G}$。

则太阳质量与地球质量之比为$\frac{M_{\text{太}}}{M_{\text{地}}}=\frac{\omega_{1}^{2}R_{1}^{3}}{\omega_{2}^{2}R_{2}^{3}}$。

答案：$\frac{\omega_{1}^{2}R_{1}^{3}}{\omega_{2}^{2}R_{2}^{3}}$

12. 宇航员站在一颗星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一个小球。经过时间$t$,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为$L$。若抛出时的初速度增大到2倍,则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}L$。已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为$R$,万有引力常数为$G$。求该星球的质量$M$。

答案：

解：设抛出点高度为$h$，第一次抛出初速度为$v$，水平位移为$x_1$，第二次水平位移为$x_2$。

由平抛运动规律：

$h = \frac{1}{2}gt^2$（$g$为星球表面重力加速度）

$x_1 = vt$，$x_2 = 2vt$

由题意：

$L^2 = x_1^2 + h^2$

$(\sqrt{3}L)^2 = x_2^2 + h^2$

联立得：$3L^2 - L^2 = x_2^2 - x_1^2$，即$2L^2 = 3v^2t^2$，$v^2t^2 = \frac{2L^2}{3}$

代入$L^2 = \frac{2L^2}{3} + h^2$，解得$h^2 = \frac{L^2}{3}$，$h = \frac{L}{\sqrt{3}}$

由$h = \frac{1}{2}gt^2$得$g = \frac{2h}{t^2} = \frac{2L}{\sqrt{3}t^2}$

星球表面万有引力等于重力：$G\frac{Mm}{R^2} = mg$

解得$M = \frac{gR^2}{G} = \frac{2\sqrt{3}LR^2}{3Gt^2}$

答案：$M = \frac{2\sqrt{3}LR^{2}}{3Gt^{2}}$