《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一物理》

13. 已知地球半径为$R$，地球表面重力加速度为$g$，不考虑地球自转的影响。
(1)推导第一宇宙速度$v_{1}$的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为$h$，求卫星的运行周期。

答案： $(1)$推导第一宇宙速度$v_{1}$的表达式
解：设卫星的质量为$m$，地球的质量为$M$。
在地球表面附近，不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$ （$G$为引力常量）。
卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对于近地卫星，轨道半径近似等于地球半径$R$，则$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v_{1}^{2}}{R}$。
由$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$可得$GM = gR^{2}$，将其代入$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v_{1}^{2}}{R}$中，得到$mg = m\frac{v_{1}^{2}}{R}$，两边同时约去$m$，解得$v_{1}=\sqrt{gR}$。
$(2)$求卫星的运行周期
解：设卫星质量为$m$，卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径$r = R + h$。
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$。
又因为$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$（即$GM = gR^{2}$），将$GM = gR^{2}$代入$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$中，可得$gR^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{T^{2}}$。
将$r = R + h$代入上式，解得$T = 2\pi\sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{gR^{2}}}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{v_{1}=\sqrt{gR}}$；$(2)$$\boldsymbol{T = 2\pi\sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{gR^{2}}}}$。