《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一物理》

9. 在某星球上以速度$v_{0}$竖直上抛一物体，经过时间$t$，物体落回抛出点。如将物体沿该星球赤道切线方向抛出，要使物体不再落回星球表面，抛出的初速度至少应为$\sqrt{\frac{2v_{0}R}{t}}$(已知星球半径为$R$，不考虑星球自转)。

答案： $\sqrt{\frac{2v_{0}R}{t}}$

10. 2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖。GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星中的同步卫星和GPS导航中的卫星轨道半径分别为$r_{1}$和$r_{2}$，向心加速度分别为$a_{1}$和$a_{2}$，则$r_{1}:r_{2} = $$\sqrt[3]{4}$，$a_{1}:a_{2} = $$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$(可用根式表示)。

答案： $\sqrt[3]{4}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$

11. 动能相等的两颗人造地球卫星$A$和$B$的轨道半径之比为$R_{A}:R_{B} = 1:2$，则它们的角速度之比为$\omega_{A}:\omega_{B} = $$2\sqrt{2}:1$，质量之比$m_{A}:m_{B} = $$1:2$。

答案： 解：对于人造地球卫星，由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{R^{2}}=m\omega^{2}R$，可得$\omega=\sqrt{\frac{GM}{R^{3}}}$。已知$R_{A}:R_{B}=1:2$，则$\omega_{A}:\omega_{B}=\sqrt{\frac{1}{R_{A}^{3}}}:\sqrt{\frac{1}{R_{B}^{3}}}=(\frac{R_{B}}{R_{A}})^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}:1$。卫星动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，由$G\frac{Mm}{R^{2}}=m\frac{v^{2}}{R}$得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故$E_{k}=\frac{1}{2}m\cdot\frac{GM}{R}$。因$E_{kA}=E_{kB}$，则$\frac{1}{2}m_{A}\cdot\frac{GM}{R_{A}}=\frac{1}{2}m_{B}\cdot\frac{GM}{R_{B}}$，所以$m_{A}:m_{B}=R_{A}:R_{B}=1:2$。$\omega_{A}:\omega_{B}=2\sqrt{2}:1$，$m_{A}:m_{B}=1:2$

12. 高空遥感探测卫星在距地球表面高为$h$处绕地球转动，如果地球质量为$M$，地球半径为$R$，人造卫星质量为$m$，万有引力常量为$G$，试求：
(1)人造卫星的角速度多大？
(2)人造卫星的向心加速度多大？

答案：

(1)解：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：

$G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}=m\omega^{2}(R+h)$

解得角速度：

$\omega=\sqrt{\frac{GM}{(R+h)^{3}}}$

(2)解：由万有引力提供向心力，有：

$G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}=ma$

解得向心加速度：

$a=\frac{GM}{(R+h)^{2}}$