《2025年暑假乐园七年级合订本现代教育出版社》

7. 如图7，已知AD//BC，∠A=∠C=50°，线段AD上从左到右依次有E，F(不与A，D重合)两点。
(1)AB与CD是什么位置关系?请说明理由。
AB // CD。理由如下：
因为 AD // BC，所以 ∠A + ∠ABC = 180°，所以 ∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°。
因为 ∠C = 50°，所以 ∠C + ∠ABC = 180°，所以 AB // CD。
(2)观察比较∠1，∠2，∠3的大小，并说明你的结论的正确性。
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3。理由如下：
因为 AD // BC，所以 ∠1 = ∠EBC，∠2 = ∠FBC，∠3 = ∠DBC。
因为 ∠EBC ＞ ∠FBC ＞ ∠DBC，所以 ∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3。
(3)若∠FBD：∠CBD=1：4，BE平分∠ABF，且∠1=∠BDC，求∠FBD的度数，并判断BE与AD的位置关系。
∠FBD = 10°，BE ⊥ AD。

答案：
(1) $AB // CD$。理由如下：
因为 $AD // BC$，所以 $∠A + ∠ABC = 180^{\circ}$，所以 $∠ABC = 180^{\circ} -$ $∠A = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$。
因为 $∠C = 50^{\circ}$，所以 $∠C + ∠ABC = 180^{\circ}$，所以 $AB // CD$。
(2) $∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3$。理由如下：
因为 $AD // BC$，所以 $∠1 = ∠EBC$，$∠2 = ∠FBC$，$∠3 = ∠DBC$。
因为 $∠EBC ＞ ∠FBC ＞ ∠DBC$，所以 $∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3$。
(3) 因为 $AD // BC$，所以 $∠1 = ∠EBC$。
因为 $AB // CD$，所以 $∠BDC = ∠ABD$。
因为 $∠1 = ∠BDC$，所以 $∠EBC = ∠ABD$，所以 $∠EBC - ∠EBD = ∠ABD - ∠EBD$，即 $∠ABE = ∠DBC$。
设 $∠FBD = x^{\circ}$，则 $∠DBC = 4x^{\circ}$。
因为 $BE$ 平分 $∠ABF$，所以 $∠EBF = ∠ABE = ∠DBC = 4x^{\circ}$。
由 $∠ABC = 130^{\circ}$，得 $4x + 4x + x + 4x = 130$，解得 $x = 10$。
所以 $∠FBD = 10^{\circ}$，$∠ABE = 40^{\circ}$。
在三角形 $ABE$ 中，$∠ABE = 40^{\circ}$，$∠A = 50^{\circ}$，所以 $∠1 = 90^{\circ}$，$BE ⊥ AD$。