《2025年智趣暑假作业云南科技出版社七年级数学北师大版》

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AD// BC$,以点$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,与$AD相交于点E$,连接$BE$,过点$C作CF\perp BE$,垂足为$F$。若$AE = 8$,$BC = 10$,则$EF$的长为______2。

答案： 解：
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AD交于点E，
∴BE=BC=10。
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，∠AEB=∠EBC。
在Rt△ABE中，AE=8，BE=10，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{BE^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°=∠A。
在△ABE和△FCB中，
$\begin{cases} ∠A=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=BC \end{cases}$，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE=8。
∴EF=BE-BF=10-8=2。
答案：2

3. 如图,$AD与BC相交于点O$,已知$OB = OC$,若以“SAS”为依据证明$\triangle AOB\cong\triangle DOC$,还需要添加的条件是$OA = OD$。

答案： 解：要以“SAS”为依据证明$\triangle AOB\cong\triangle DOC$，已知$OB = OC$，且对顶角$\angle AOB = \angle DOC$，所以需要添加的条件是$OA = OD$。
$OA = OD$

1. 如图,已知点$A$,$F$,$C$,$D$在同一条直线上,$BC = EF$,$AB = DE$,$AC = FD$。
试说明：(1)$BC// EF$；(2)$BF = CE$。

答案： （1）在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { B C = E F , } \\ { A B = D E , } \\ { A C = D F , } \end{array} \right. $ 所以 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF ( S S S ) $，所以 $ \angle B C A = \angle E F D $，所以 $ B C // E F $。
（2）因为 $ \triangle A B C \cong \triangle D E F $，所以 $ \angle A = \angle D $。因为 $ A C = F D $，所以 $ A C - C F = F D - C F $，所以 $ A F = D C $。又因为 $ A B = D E $，所以 $ \triangle A B F \cong \triangle D E C ( S A S ) $，所以 $ B F = C E $。

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle A = 47^{\circ}$,高$BE$,$CF所在直线交于点O$,且点$E$,$F不与点C$,$B$重合,求$\angle BOC$的度数。

答案： 解：
情况一：$\triangle ABC$为锐角三角形
∵$BE$，$CF$是高，
∴$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$。
在四边形$AE OF$中，$\angle A = 47^\circ$，
$\angle EOF = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 47^\circ = 133^\circ$。
∵$\angle BOC = \angle EOF$，
∴$\angle BOC = 133^\circ$。
情况二：$\triangle ABC$为钝角三角形
不妨设$\angle B$为钝角，$BE$，$CF$的延长线交于点$O$。
∵$BE$，$CF$是高，
∴$\angle OEC = \angle OFB = 90^\circ$。
∵$\angle OCE = \angle ACF$，
∴$\angle BOC = \angle A = 47^\circ$。
综上，$\angle BOC$的度数为$47^\circ$或$133^\circ$。