《2025年智趣暑假作业云南科技出版社七年级数学北师大版》

2. 如图所示,在$△ABC$中,AD是BC边上的高,BE是AC边上的高,且AD,BE交于点F,若$BF= AC,CD= 3,BD= 8$,则线段AF的长度为______.
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答案： 解：
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°。
∵∠AFE=∠BFD，∠AEF=∠BDF=90°，
∴∠CAD=∠FBD。
在△BDF和△ADC中，
∠BDF=∠ADC=90°，
∠FBD=∠CAD，
BF=AC，
∴△BDF≌△ADC（AAS）。
∴BD=AD=8，DF=CD=3。
∴AF=AD-DF=8-3=5。
答案：5

1. 如图,$△ABC,△CDE$均为等腰直角三角形,$∠ACB= ∠DCE= 90^{\circ }$,点E在AB上,试说明：$△CDA\cong △CEB$.

答案： 解：因为△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
所以CE=CD，BC=AC。
因为∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，
所以∠ECB=∠DCA。
在△CDA与△CEB中，
$\left\{ \begin{array}{l} BC = AC, \\ \angle ECB = \angle DCA, \\ EC = DC, \end{array} \right.$
所以△CDA≌△CEB（SAS）。

2. 如图,已知三角形ABC是等腰直角三角形,$∠ACB= 90^{\circ }$,F是AB的中点,直线l经过点C且位于点F的右侧,分别过点A,B作l的垂线,垂足分别为D,E,求证：$△ADC\cong △CEB$.

答案： 证明：$ \because \triangle ABC $是等腰直角三角形，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，
$ \therefore AC = BC $。
$ \because AD \perp l $，$ BE \perp l $，
$ \therefore \angle ADC = \angle CEB = 90^{\circ} $。
$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle ACD + \angle BCE = 90^{\circ} $。
$ \because \angle ADC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle CAD + \angle ACD = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle CAD = \angle BCE $。
在$ \triangle ADC $和$ \triangle CEB $中，
$ \left\{ \begin{array}{l} \angle ADC = \angle CEB, \\ \angle CAD = \angle BCE, \\ AC = BC, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ADC \cong \triangle CEB (AAS) $。