《2025年智趣暑假作业云南科技出版社七年级数学北师大版》

1. 已知$a= -3^{4},b= (-3)^{4},c= (2^{3})^{4},d= (2^{2})^{6}$,则下列$a,b,c,d$四者关系的判断正确的是(C)
A.$a = b,c = d$
B.$a = b,c\neq d$
C.$a\neq b,c = d$
D.$a\neq b,c\neq d$

答案： 解：
计算各值：
$a = -3^4 = -81$，
$b = (-3)^4 = 81$，
$c = (2^3)^4 = 2^{12} = 4096$，
$d = (2^2)^6 = 2^{12} = 4096$。
比较得：$a \neq b$，$c = d$。
答案：C

2. 已知$10^{x}= m,10^{y}= n$,则$10^{2x + 3y}$等于(D)
A.$2m + 3n$
B.$m^{2}+n^{3}$
C.$6mn$
D.$m^{2}n^{3}$

答案： 解：因为$10^{x}=m$，所以$10^{2x}=(10^{x})^{2}=m^{2}$；
因为$10^{y}=n$，所以$10^{3y}=(10^{y})^{3}=n^{3}$；
则$10^{2x + 3y}=10^{2x} × 10^{3y}=m^{2}n^{3}$。
答案：D

3. 下列计算：①$(ab)^{2}= ab^{2}$；②$(4ab)^{3}= 12a^{3}b^{3}$；③$(-2x^{3})^{4}= -16x^{12}$；④$(\frac{2}{3}a)^{3}= \frac{8}{3}a^{3}$,其中正确的有(A)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： 解：①$(ab)^{2}=a^{2}b^{2}\neq ab^{2}$，错误；
②$(4ab)^{3}=4^{3}a^{3}b^{3}=64a^{3}b^{3}\neq 12a^{3}b^{3}$，错误；
③$(-2x^{3})^{4}=(-2)^{4}(x^{3})^{4}=16x^{12}\neq -16x^{12}$，错误；
④$(\frac{2}{3}a)^{3}=(\frac{2}{3})^{3}a^{3}=\frac{8}{27}a^{3}\neq \frac{8}{3}a^{3}$，错误。
正确的有0个。
A

4. 若$(-2a^{1 + x}b^{2})^{3}= -8a^{9}b^{6}$,则$x$的值是(C)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 解：左边$=(-2)^3 \cdot (a^{1+x})^3 \cdot (b^2)^3 = -8a^{3(1+x)}b^6$
由题意得：$-8a^{3(1+x)}b^6 = -8a^9b^6$
则$3(1+x) = 9$
$1+x = 3$
$x = 2$
答案：C

1. 已知$x^{m}= 2,x^{n}= 3$,则$x^{m + 2n}= $18。

答案： 解：$x^{m + 2n} = x^m \cdot x^{2n} = x^m \cdot (x^n)^2$
将$x^m = 2$，$x^n = 3$代入得：
原式$= 2 × 3^2 = 2 × 9 = 18$
18

2. 计算：$[(a - b)^{m}]^{n}\cdot(b - a)^{2}= $$(a - b)^{mn + 2}$。

答案： 解：$[(a - b)^{m}]^{n}\cdot(b - a)^{2}$
$=(a - b)^{mn}\cdot(a - b)^{2}$
$=(a - b)^{mn + 2}$
故答案为：$(a - b)^{mn + 2}$

3. 已知$2+\frac{2}{3}= 2^{2}×\frac{2}{3},3+\frac{3}{8}= 3^{2}×\frac{3}{8},4+\frac{4}{15}= 4^{2}×\frac{4}{15},…$依此规律,若$10+\frac{x}{y}= 10^{2}×\frac{x}{y}$($x,y$是正整数),则$x + y= $109。

答案： 观察已知等式：
- 当整数为$2$时，$2 + \frac{2}{3} = 2^{2}×\frac{2}{3}$，其中分母$3 = 2^{2}-1$，分子为$2$；
- 当整数为$3$时，$3 + \frac{3}{8} = 3^{2}×\frac{3}{8}$，其中分母$8 = 3^{2}-1$，分子为$3$；
- 当整数为$4$时，$4 + \frac{4}{15} = 4^{2}×\frac{4}{15}$，其中分母$15 = 4^{2}-1$，分子为$4$。
规律为：整数$n$对应的等式为$n + \frac{n}{n^{2}-1} = n^{2}×\frac{n}{n^{2}-1}$。
对于$10 + \frac{x}{y} = 10^{2}×\frac{x}{y}$，则$x = 10$，$y = 10^{2}-1 = 99$。
$x + y = 10 + 99 = 109$。
答案：109