《2025年奔跑吧少年八年级数学上册浙教版》

19. 如图,点D在$\triangle ABC$的边AB上,且$\angle ACD = \angle A$。
(1)作$\angle BDC$的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)。
(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系,并说明理由。

答案： 1. （1）
尺规作图步骤：
以$D$为圆心，任意长为半径画弧，交$BD$、$CD$于两点$M$、$N$；
分别以$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$P$；
作射线$DP$，交$BC$于点$E$，则$DE$即为$\angle BDC$的平分线。（作图痕迹略）
2. （2）
解：$DE// AC$。
理由：
因为$\angle BDC$是$\triangle ADC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle BDC=\angle A + \angle ACD$。
又因为$\angle A=\angle ACD$，所以$\angle BDC = 2\angle A$。
因为$DE$平分$\angle BDC$，根据角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，所以$\angle BDE=\angle CDE=\frac{1}{2}\angle BDC$。
则$\angle BDE=\angle A$。
根据同位角相等，两直线平行（若两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则这两条直线平行），因为$\angle BDE$与$\angle A$是同位角，且$\angle BDE=\angle A$，所以$DE// AC$。
综上，（1）完成尺规作图（略）；（2）$DE// AC$。

20. 如图,在$\triangle ABC$中,点D在BC上,连结AD,在AD上取一点E,连结BE并延长,交AC于点F,且$\triangle ACD \cong \triangle BED$。
(1)求证：$\angle AFE = 90^{\circ}$。
(2)若$S_{\triangle BCF} = 20$,$S_{四边形CFED} = 8$,求$\triangle AEF$的面积。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ACD\cong\triangle BED$，所以$\angle CAD=\angle EBD$。
在$\triangle AEF$和$\triangle BED$中，$\angle AEF=\angle BED$（对顶角相等）。
根据三角形内角和定理$\angle AFE = 180^{\circ}-\angle CAD-\angle AEF$，$\angle BDE = 180^{\circ}-\angle EBD-\angle BED$。
把$\angle CAD=\angle EBD$，$\angle AEF=\angle BED$代入可得$\angle AFE=\angle BDE$。
又因为$\triangle ACD\cong\triangle BED$，所以$\angle BDE=\angle ADC$，且$\angle ADC + \angle ADB=180^{\circ}$，$\angle ADC=\angle BDE = 90^{\circ}$。
所以$\angle AFE = 90^{\circ}$。
2. （2）△AEF的面积为4

21. 如图,在$\triangle ABC$中,D是AB边上的点,BE平分$\angle ABC$交CD于点E,$EF // AC$交AB于点F。已知$\angle A = \angle BCD$。
(1)求证：$EF = EC$。
(2)若$\angle BEF = 110^{\circ}$,求$\angle ACD$的度数。

答案： 1. （1）证明：
因为$EF// AC$，所以$\angle FEC+\angle ECA = 180^{\circ}$，$\angle BFE=\angle A$。
又因为$\angle A=\angle BCD$，所以$\angle BFE=\angle BCD$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle FBE=\angle EBC$。
在$\triangle BEF$和$\triangle BEC$中，$\angle BFE=\angle BCD$，$\angle FBE=\angle EBC$，$BE = BE$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEF\cong\triangle BEC$。
所以$EF = EC$。
2. （2）
因为$\angle BEF = 110^{\circ}$，所以$\angle FEC=180^{\circ}-\angle BEF = 70^{\circ}$。
由（1）知$\triangle BEF\cong\triangle BEC$，所以$\angle BEC=\angle BEF = 110^{\circ}$，则$\angle DEC = 180^{\circ}-\angle BEC = 70^{\circ}$。
又因为$EF = EC$，所以$\angle EFC=\angle ECF$。
在$\triangle EFC$中，$\angle EFC=\angle ECF=\frac{180^{\circ}-\angle FEC}{2}=\frac{180 - 70}{2}=55^{\circ}$。
因为$\angle A=\angle BCD$，$EF// AC$，设$\angle A=\angle BCD=x$。
在$\triangle DEC$中，$\angle DEC = 70^{\circ}$，$\angle ECD = 55^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle ACD+\angle BCD+\angle DEC+\angle ECD = 180^{\circ}$。
又因为$\angle BCD=\angle A$，$EF// AC$，$\angle A=\angle BFE$，$\triangle BEF\cong\triangle BEC$，$\angle ACD = 40^{\circ}$。
综上，（1）得证$EF = EC$；（2）$\angle ACD$的度数为$40^{\circ}$。

22. 如图,在$\triangle ABC$中,边AB的垂直平分线$l_{1}$交BC于点D,边AC的垂直平分线$l_{2}$交BC于点E,$l_{1}与l_{2}$相交于点O,连结AD,AE。已知$\triangle ADE$的周长为12 cm。
(1)求BC的长。
(2)分别连结OA,OB,OC。若$OA = 8$ cm,求$\triangle OBC$的周长。

答案：
(1)12 cm。
(2)28 cm。