18.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin

=－2(sin － )²+

当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为

17.解: 设等比数列{a_n}的公比为q, 则q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q

所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3,

当q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n.　

当q=3时, a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3.

⒄、(本小题满分12分)

已知为等比数列，，求的通项式。

⒅、(本小题满分12分)

的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

⒆、(本小题满分12分)

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。

⒇、(本小题满分12分)

如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。

(Ⅰ)证明⊥；

(Ⅱ)若，求与平面ABC所成角的余弦值。

(21)、(本小题满分12分)

设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。

(22)、(本小题满分14分)

设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。

全国卷Ⅰ文答案

⒀、已知函数，若为奇函数，则________。

⒁、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

⒂、设，式中变量满足下列条件

则z的最大值为_____________。

⒃、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)

⑴、已知向量满足，且，则与的夹角为

A．　　　　　　　 B．　 　　　　C．　　　　　 D．

⑵、设集合，，则

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

⑶、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

⑷、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

A．　　　　　　　 B．　　　　 　　C．　　　　　 D．

⑸、设是等差数列的前项和，若，则

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑹、函数的单调增区间为

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

⑺、从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑻、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

A．　　　　　 　　　B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

抛物线上的点到直线距离的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　 　　　　　D．

⑽、在的展开式中，的系数为

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

⑾、抛物线上的点到直线距离的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

⑿、用长度分别为2、3、4、5、6(单位：)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅱ卷

22.解: (Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ①　 得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … , 因而数列{ a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

　 = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)　　

　T_n= = × = ×( － )

所以, = － )　 = ×( － ) <

由= +得M的坐标为(x,y), 由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| |²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号.

故||的最小值为3.

21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e^－ax. 　

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.

(ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.

(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.

(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(ⅱ)当a>2时, 取x₀= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

20.解: 椭圆方程可写为: + =1　 式中a>b>0 , 且　 得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为:　 x²+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切线AB的方程为:

19.解法一: (Ⅰ)由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN.由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.

∴AC⊥NB

(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l₁、l₂的公垂线, l₁⊥l₂, ∴l₂⊥平面ABN. l₂平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0　 ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),

=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH,则=(－1,, ),

∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= = 　=

18.解: (1)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率为: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=

, P(ξ=2)=C₃²×()²× = 　 , P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列为:

数学期望: Eξ=3× = .