16．(本小题共14分)

　　　 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足为E.

(Ⅰ)求证BD⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C_­1的大小；

(Ⅲ)求异面直线AD与BC₁所成角的余弦值.

解法一：

(I)在直四棱柱中,

　　　 底面,

　　　 是在平面上的射影.

　　　

　　　

(II)连结

　　　 与(I)同理可证

　　　 为二面角的平面角.

　　　

　　　

　　　 又且

　　　

　　　 在中,， ，

　　　 即二面角的大小为90°

(III)过B作BF∥AD交于,连结

　　　 则就是与所成的角.

　　　

在中,。

即异面直线与所成角的余弦值为。

解法二：

(I)同解法一.

(II)如图,以D为坐标原点,所

　　　 在直线分别为轴,轴,轴,建立空间

　　　 直角坐标系.

　　　 连结

　　　 与(I)同理可证,

　　　 为二面角的平面角.

　　　

　　　 得。

　　　 ∴ 。∴。

　　　 ∴ 二面角的大小为90°.

(II)如图,由，得。

∵ ，

∴。

即异面直线与所成角的余弦值为。

解法三：

(I)同解法一.

　 (II)如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E.

　　　 连结

　　　 与(I)同理可证,

　　　 为二面角的平面角.

　　　 由

　　　 得

　　　

　　　 二面角的大小为

(III)如图,由

　　　 得

　　　

　　　 异面直线与所成角的大小为

[名师指津]

　　　 三垂线定理,二面角的平面角、线面角、两条异面直线所成的角作法及求法,线线、线面、面面平

行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.