(17)(本小题共12分)。

　　　 已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，

△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；

(Ⅲ)若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，

求△ABC的边长．

( 18 )(本小题共12分)

　　 如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相

垂直的十字形，其中．

　　 (Ⅰ) 将十字形的面积表示为的函数；

(Ⅱ) 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

( 19 )(本小题共12分)

已知函数．设数列满足，，数列满足

，…，

(Ⅰ)用数学归纳法证明；(Ⅱ)证明 ．

(20)(本小题满分12分)

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．

(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的

加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生

产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

(Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示，用、

分别表示一件甲、乙产品的利润，在(Ⅰ)

的条件下，求、的分布列及、；

(Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资

金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资

金60万，设、分别表示生产甲、乙产品

的数量，在(Ⅱ)的条件下，、为何值时

最大？最大值是多少？

(解答时须给出图示)

(21)(本小题满分14分)

已知椭圆的左、右焦点分别是

、，是椭圆外的动点，满足，

点P是线段与该椭圆的交点，点T在线段上，并且

满足．

(Ⅰ)设为点P的横坐标，证明 ；

(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；

(Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△的面积．若存在，求

∠的正切值；若不存在，请说明理由．

(22)(本小题满分12分)

　 函数在区间内可导，导函数是减函数，且．设，是曲线在点处的切线方程，并设函数

．

　　　　　　　 (Ⅰ)用、、表示m；

　　　　　　　 (Ⅱ)证明：当，；

　　　 (Ⅲ)若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系．

普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

(13)的展开式中常数项是______________．

[答案]－160

[解答]通项公式为，

由，得，所以常数项是，

[点拨]熟悉二项式展开式的通项公式．

(14)如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、

B、M是顶点，那么点M到截面的距离是_____________．

[答案]

[解答]如图建立空间直角坐标系，，，，，则，，设为平面法向量，则有，即，解得，即，所以点M到截面的距离 ．

[点拨]利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．

(15)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___________个．(用数字作答)

[答案]576

[解答]将1与2，3与4，5与6捆绑在一起排成一列有种，再将7、8插入4个空位中的两个有种，故有种．

[点拨]相邻用捆绑法，不相邻用插空法

(16)是正实数，设，若对每个实数a ，∩的元素不超过2个，且有a使∩含有2个元素，则的取值范围是___________．

[答案]

[解答]∵是奇函数，且，

∴，∴，Z，

∵∩的元素不超过2个，

∴，∴，

∵且有a使∩含有2个元素，

∴，∴，∴，

[点拨]通过数轴得出∩元素个数与两点间距离的关系再求解．

(1)数．在复平面内，z所对应的点在　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　 (A)第一象限　　　 (B)第二象限　　　 (C)第三象限　　　 (D)第四象限

[答案]B

[解答]∵

∴z所对应的点在第二象限．故选B．

[点拨]对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．

(2)极限存在是函数在点处连续的　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

(A)充分而不必要的条件　　　　　　 (B)必要而不充分的条件

(C)充要条件　　　　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要的条件

[答案]B

[解答]∵极限存在且，则函数在点处连续的，

　　　　 ∴极限存在是函数在点处连续的必要而不充分的条件，故选B．

[点拨]准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．

(3)设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为

　　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

[答案]D

[解答]从袋中任取10个球有种，其中恰有6个红球有种，故选D．

[点拨]分析如何完成取球任务，再利用组合计算．

(4)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：

　　　 ①若，，则；

②若，，则；

③若，，，则；

④若m、n是异面直线，，，，，则，

其中真命题是

　　 (A)①和②　　　　 (B)①和③　　　　 (C)③和④　　　　 (D)①和④

[答案]D

[解答]因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当与相交时，若m、n平行于两平面的交线，则，所以③错误；因为若m、n是异面直线，，，，，当且仅当，所以④正确．

[点拨]解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决．

(5)函数的反函数是

　　 (A)　 (B) (C)　 (D)

[答案]C

[解答]由，得，即，

两边平方，化简得，故，即，

　　　　 ∴的反函数是．

[点拨]求反函数设法解出x ．

(6)若，则a的取值范围是

　　 (A)　　 (B)　　　 (C)　　　　 (D)

[答案]C

[解答]法一：代特殊值验证

　　　　 法二：①当，即时，无解；

　　　　　　　 ②当，即时，，故选C．

[点拨]解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．

(7)在R上定义运算：．若不等式对任意实数x成立，则

　　 (A)　　　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

[答案]C

[解答]∵，∴不等式对任意实数x成立，则对任意实数x成立，即使对任意实数x成立，所以，解得，故选C．

[点拨]熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．

(8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，则m的范围是

　　 (A)　 (B) (C)　　 (D)

[答案]B

[解答]∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，

∴其中一个角为60º，如图，直角三角形时，，

所以钝角三角形时，有，故选B．

[点拨]利用数形结合解题较快捷．

(9)若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为

　　 (A)8或－2　　　 (B)6或－4　　　 (C)4或－6　　　 (D)2或－8

[答案]A

[解答]由，得，所以平移后，得，其与圆相切，即圆心到直线的距离为，即，解得或，故选A．

[点拨]熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理．

(10)已知是定义在R上的单调函数，实数，，，．若，则

　　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

[答案]A

[解答]数形结合法：当，如图A所示，

有，当时，

如图B所示，有，

故选A．

[点拨]数形结合解决定比分点问题．

(11)已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线的准线重合，则

　　 　 该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是

　　 (A)　　 (B)　　 (C)　　　　 (D)21

[答案]B

[解答]由，得，由一条准线与抛物线的准线重合，得准线为，所以，故，，，所以双曲线方程为，由，得交点为，所以交点到原点的距离是，故选B．

[点拨]由已知条件发拨出a、b、c的取值，得到双曲线的方程．

(12)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式

得到的数列满足，则该函数的图象是

　　　　 (A)　　　　　 　 (B)　　　　　 　　 (C)　　　　　 　　 (D)

[答案]A

[解答]由，，得，即，故选A ．

[点拨]分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

21．解：(I)，

则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

　 则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

　 综上所述，a的取值范围为(－1，0)∪(0，+∞).

　 (II)证法一　 设点P、Q的坐标分别是(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，0<x₁<x₂.

　　　　 则点M、N的横坐标为

　　　　 C₁在点M处的切线斜率为

　　　　 C₂在点N处的切线斜率为

　　　　 假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

　　　　 即，则

　　　　　　　　 =

　　　 所以　 设则①

　　　 令则

　　　 因为时，，所以在)上单调递增. 故

　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

　　　 因为，所以

　　　 令，得　 ②

　　　 令

　　　 因为，所以时，

　　　 故在[1，+上单调递增.从而，即

　　　 于是在[1，+上单调递增.

　　　 故即这与②矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

20．解(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

　 (II)若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由(*)式得

　　　　 因为x₁>0，所以a>b.

　　　　 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

　 (Ⅲ)若b的值使得x_n>0，n∈N*

　　　　 由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

　　　　 0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

　　　　 而x₁∈(0, 2)，所以

　　　　 由此猜测b的最大允许值是1.

　　　　 下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

　　　　 ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

19．(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

　　 所以点M的坐标是().　　 由

即

　　 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以　　　 因为点M在椭圆上，所以　

即

　 解得

　 (Ⅱ)解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

　　 设点F₁到l的距离为d，由

　　 得　 所以

　　 即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得　 从而

于是.　　 即当时，△PF₁F₂为等腰三角形.

18．解：(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

　　　 为事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P(A₁)=0.4，P(A₂)=0.5，

　　　 P(A₃)=0.6.

　　　 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取

　　　 值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.

　　　 P(=3)=P(A₁·A₂·A₃)+ P()

= P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1　　 3　 P 0.76 0.24

　　　 所以的分布列为

　　　 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

(Ⅱ)解法一　 因为

所以函数上单调递增，

要使上单调递增，当且仅当

从而

解法二：的可能取值为1，3.

当=1时，函数上单调递增，

当=3时，函数上不单调递增.0

所以

17．解法一(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，

　　　 B(0，3，0)，C(0，1，)

　　　 从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

(II)解：因为所以BO₁⊥OC，

由(I)AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O₁AC的一个法向量，

由　　 得.

设二面角O-AC-O₁的大小为，由、的方向可知，>，

　　　 所以cos，>=

　　　 即二面角O-AC-O₁的大小是

解法二(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

　 　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 OC是AC在面OBCO₁内的射影.

　　　 因为　　 ，

　　　 所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

　　　 由三垂线定理得AC⊥BO₁.

(II)解 由(I)AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

　　　 设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F(如图4)，则EF是O₁F在平面AOC

　　　 内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

　　　 所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角.

　　　 由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

　　　 所以，

　　　 从而，　　 又O₁E=OO₁·sin30°=，

　　　 所以　 即二面角O-AC-O₁的大小是

16．解法一　 由

　　　 得

　　　 所以

　　　 即

　　　 因为所以，从而

　　　 由知 从而.

　　　 由

　　　 即

　　　 由此得所以

解法二：由

　　　 由、，所以

　　　 即

　　　 由得

　　　 所以

　　　 即 　　　　　　 因为，所以

　　　 由从而，知B+2C=不合要求.

　　　 再由，得　 所以

15．[答案]：

[解析]：本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题，能很好地考查学生分析思维能力.

　　　　　　　　　　 由题意得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 为一个半周期结合图象分析其面积为.