(17) (本小题满分12分)

已知函数，.求:

(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

(II) 函数的单调增区间.

[解析](I) 解法一:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

解法二:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

(II)解:

由题意得:

即:

因此函数的单调增区间为.

[点评]本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.

(18) (本小题满分12分)]

已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.

[解析](I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.

ACD为正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分线上,

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

.

解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又且

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

.

解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

,

.

[点评]本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.

(19) (本小题满分12分)

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(I)　 求、的概率分布和数学期望、;

(II)　 当时,求的取值范围.

[解析]

(I)解法1: 的概率分布为

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

由题设得,则的概率分布为

	0	1	2
P

故的概率分布为

	1.3	1.25	0.2
P

所以的数学期望为

E=++=.

解法2: 的概率分布为

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布为

	1.3	1.25	0.2
P

所以的数学期望为

E=++=.

(II)　 由,得:

因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.

[点评]本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.

(20) (本小题满分14分)

已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。

[解析](I)证明1:

整理得:

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

即

整理得:

故线段是圆的直径

证明2:

整理得:

……..(1)

设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则

即

去分母得:

点满足上方程,展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

证明3:

整理得:

……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值,由题设得

.

解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则

因为x-2y+2=0与无公共点,

所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为

将(2)代入(3)得

解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则

圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

又因

当时,d有最小值,由题设得

.

[点评]本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C

　 (I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

[解析](I)解:

令,得

当时, ;

当时,

所以f(x)在x=-1处取得最小值即

(II)

的图像的开口向上,对称轴方程为

由知

在上的最大值为

即

又由

当时, 取得最小值为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得.

解法2:

又c>0知在上的最大值为

即:

又由

当时, 取得最小值为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得

[点评]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

(13) 设则__________

[解析].

[点评]本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.

(14) _____________

[解析]

[点评]本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.

(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

[解析]两老一新时, 有种排法;

两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.

[点评]本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.

(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______

[解析]不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.

[点评]本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.

22．已知函数＝+有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，+∞上是增函数．

(1)如果函数＝+(＞0)的值域为6，+∞，求的值；

(2)研究函数＝+(常数＞0)在定义域内的单调性，并说明理由；

(3)对函数＝+和＝+(常数＞0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数＝+(是正整数)在区间[，2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论)．

解：(1)易知，时，。

(2)＝+是偶函数。易知，该函数在上是减函数，在上是增函数；则该函数在上是减函数，在上是增函数。

(3)推广：函数，当为奇数时，，是减函数；，是增函数。，是增函数；，是减函数。

当为偶数时，，是减函数；，是增函数。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，是减函数；，是增函数。

＝+

当时，。

　　　　 ∴，是减函数；，是增函数。

　　　　 ∵

∴函数＝+在区间[，2]上的最大值为，最小值为。

21．已知有穷数列共有2项(整数≥2)，首项＝2．设该数列的前项和为，且＝+2(＝1，2，┅，2－1)，其中常数＞1．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)若＝2，数列满足＝(＝1，2，┅，2)，求数列的通项公式；

(3)若(2)中的数列满足不等式|－|+|－|+┅+|－|+|－|≤4，求的值．

解：(1)，则，两式相减，得，

(又)

∴数列是首项为、公比为的等比数列。

(2)＝，(＝1，2，┅，2)。

(3)由(2)知，数列是首项为、公差为的等差数列。

又，∴时，；时，。

∴|－|+|－|+┅+|－|+|－|

　　　　 。

20、在平面直角坐标系O中，直线与抛物线相交于、两点。

(1)求证：“如果直线过点，那么＝”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

解：(1)如果直线轴，则

　　　　 如果直线与轴不垂直，设直线的方程为，

　　　　　

　 ∴

　　 综上，得“如果直线过点，那么＝”是真命题。

(2)(1)中命题的逆命题：在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于、两点。如果 ＝，那么直线必过点。

　　　 ∵设直线与轴的交点坐标为，则直线方程为，把它代入得

　　　

　　　 由，即直线必过点。

　　　 ∴(1)中命题的逆命题是假命题。

19、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，对角线与相交于点，⊥平面，与平面所成的角为．

(1)求四棱锥的体积；

(2)若是的中点，求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．

解：(1)底面是边长为的菱形，

　　　 ⊥平面，与平面所成的角为，

　　　 ∴。

(2)建系如图，，

，，

　　　　 ，

　　　　 ∴异面直线与所成角的大小为。

18、如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到)？

解：

　　

　 ∴乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援。

17、求函数的值域和最小正周期。

解：，，。

16、如图，平面中两条直线和相交于点。对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”。已知常数，给出下列三个命题：

　 ①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个。

　 ②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个。

　 ③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个。

上述命题中，正确命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 )

　 (A)0　　 　　(B)1　　　 (C)2　　　 (D)3

15、若关于的不等式的解集是，则对任意实常数，总有(　 A 　)

　 (A)　 (B)　 (C)　 (D)