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8. 设 $a、b$ 是方程 $x^{2}+x - 2025 = 0$ 的两个实数根,则 $a^{2}+2a + b$ 的值为【
A.$2024$
B.$2025$
C.$2026$
D.$2027$
2024
】A.$2024$
B.$2025$
C.$2026$
D.$2027$
答案：
A.
9. 下列各题的解答中：① $x^{2}= 1$ 开平方得 $x = 1$；② $(x - 1)x = 2(x - 1)\Rightarrow x = 2$；③ $(x - 2)(x + 3)= 1\Rightarrow x - 2 = 1$ 或 $x + 3 = 1\Rightarrow x_{1}= 3,x_{2}= -2$；④ $x^{2}-2x - 1 = 0\Rightarrow x^{2}-2x + 1 = 2\Rightarrow(x - 1)^{2}= 2\Rightarrow x_{1}= 1+\sqrt{2},x_{2}= 1-\sqrt{2}$. 其中错误的解答有【
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
C
】A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案：
C.
10. 某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的 $1185$ 元降到了 $580$ 元. 设平均每次降价的百分率为 $x$,则下列列出的方程正确的是【
A.$580(1 + x)^{2}= 1185$
B.$1185(2 + x)^{2}= 580$
C.$580(1 - x)^{2}= 1185$
D.$1185(1 - x)^{2}= 580$
D
】A.$580(1 + x)^{2}= 1185$
B.$1185(2 + x)^{2}= 580$
C.$580(1 - x)^{2}= 1185$
D.$1185(1 - x)^{2}= 580$
答案：
D.
11. 关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+x = 4x^{2}+1$ 是一元二次方程,那么 $k$ 的取值范围是
$ k \neq 4 $
.
答案：
$ k \neq 4 $.
12. 当 $a = $
$\pm \sqrt{5}$
时,$x^{2}+4x + a^{2}-1$ 是关于 $x$ 的完全平方式.
答案：
$ \pm \sqrt{5} $.
13. 已知 $2+\sqrt{3}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + c = 0$ 的一个根,则 $c$ 的值为
1
.
答案：
1.
14. 已知三个连续奇数的平方和为 $371$,则这三个奇数为
9,11,13 或 -13,-11,-9
.
答案：
9,11,13 或 -13,-11,-9.
15. 写出一个以 $2、-1$ 为根的一元二次方程：
$ x^2 - x - 2 = 0 $
.
答案：
$ x^2 - x - 2 = 0 $.
16. (20 分)解下列方程：
(1) $(3x - 1)^{2}= (x + 1)^{2}$；
(2) $(x + 1)(x - 1)= 2\sqrt{2}x$；
(3) $\frac{x + 2}{3}-\frac{x^{2}-3}{2}= 2$；
(4) $3x^{2}-7x + 4 = 0$.
(1) $(3x - 1)^{2}= (x + 1)^{2}$；
(2) $(x + 1)(x - 1)= 2\sqrt{2}x$；
(3) $\frac{x + 2}{3}-\frac{x^{2}-3}{2}= 2$；
(4) $3x^{2}-7x + 4 = 0$.
答案：
$(1)$ 解方程$(3x - 1)^{2}= (x + 1)^{2}$
解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$(3x - 1)^{2}-(x + 1)^{2}=0$进行变形可得：
$[(3x - 1)+(x + 1)][(3x - 1)-(x + 1)] = 0$
即$(3x - 1+x + 1)(3x - 1-x - 1)=0$
化简得$4x(2x - 2)=0$
进一步得到$4x = 0$或$2x - 2 = 0$
由$4x = 0$，解得$x_1 = 0$；
由$2x - 2 = 0$，即$2x=2$，解得$x_2 = 1$。
$(2)$ 解方程$(x + 1)(x - 1)= 2\sqrt{2}x$
解：
先将方程左边展开$x^2 - 1 = 2\sqrt{2}x$
移项化为一元二次方程的一般形式$x^2-2\sqrt{2}x - 1 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$（$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = - 1$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=8 + 4=12$
$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$
所以$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
$(3)$ 解方程$\frac{x + 2}{3}-\frac{x^{2}-3}{2}= 2$
解：
方程两边同时乘以$6$去分母得：
$2(x + 2)-3(x^{2}-3)=12$
展开括号$2x + 4-3x^{2}+9 = 12$
移项化为一般形式$3x^{2}-2x - 1 = 0$
因式分解得$(3x + 1)(x - 1)=0$
则$3x + 1 = 0$或$x - 1 = 0$
由$3x + 1 = 0$，解得$x_1=-\frac{1}{3}$；
由$x - 1 = 0$，解得$x_2 = 1$。
$(4)$ 解方程$3x^{2}-7x + 4 = 0$
解：
因式分解得$(3x - 4)(x - 1)=0$
则$3x - 4 = 0$或$x - 1 = 0$
由$3x - 4 = 0$，解得$x_1=\frac{4}{3}$；
由$x - 1 = 0$，解得$x_2 = 1$。
综上，$(1)$中$x_1 = 0$，$x_2 = 1$；$(2)$中$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$；$(3)$中$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2 = 1$；$(4)$中$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2 = 1$。
解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$(3x - 1)^{2}-(x + 1)^{2}=0$进行变形可得：
$[(3x - 1)+(x + 1)][(3x - 1)-(x + 1)] = 0$
即$(3x - 1+x + 1)(3x - 1-x - 1)=0$
化简得$4x(2x - 2)=0$
进一步得到$4x = 0$或$2x - 2 = 0$
由$4x = 0$，解得$x_1 = 0$；
由$2x - 2 = 0$，即$2x=2$，解得$x_2 = 1$。
$(2)$ 解方程$(x + 1)(x - 1)= 2\sqrt{2}x$
解：
先将方程左边展开$x^2 - 1 = 2\sqrt{2}x$
移项化为一元二次方程的一般形式$x^2-2\sqrt{2}x - 1 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$（$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = - 1$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=8 + 4=12$
$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$
所以$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
$(3)$ 解方程$\frac{x + 2}{3}-\frac{x^{2}-3}{2}= 2$
解：
方程两边同时乘以$6$去分母得：
$2(x + 2)-3(x^{2}-3)=12$
展开括号$2x + 4-3x^{2}+9 = 12$
移项化为一般形式$3x^{2}-2x - 1 = 0$
因式分解得$(3x + 1)(x - 1)=0$
则$3x + 1 = 0$或$x - 1 = 0$
由$3x + 1 = 0$，解得$x_1=-\frac{1}{3}$；
由$x - 1 = 0$，解得$x_2 = 1$。
$(4)$ 解方程$3x^{2}-7x + 4 = 0$
解：
因式分解得$(3x - 4)(x - 1)=0$
则$3x - 4 = 0$或$x - 1 = 0$
由$3x - 4 = 0$，解得$x_1=\frac{4}{3}$；
由$x - 1 = 0$，解得$x_2 = 1$。
综上，$(1)$中$x_1 = 0$，$x_2 = 1$；$(2)$中$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$；$(3)$中$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2 = 1$；$(4)$中$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2 = 1$。
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