《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

18. (10分)已知$x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$,$y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$,求：
(1) $x + y和xy$的值；
(2) $x^2 - xy + y^2$的值.

答案：
(1)$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\therefore x+y=2\sqrt{3}$,$xy=1$;
(2)$x^{2}-xy+y^{2}=(x+y)^{2}-3xy=(2\sqrt{3})^{2}-3=12-3=9$.

19. (8分)(1) 化简：$\sqrt{(x + 2)^2} - \sqrt{(1 - x)^2} + (\sqrt{x - 2})^2$.
(2) 先化简,再求值：$\frac{a}{a^2 - 2a + 1} ÷ (1 + \frac{1}{a - 1})$,其中$a = \sqrt{5} + 1$.

答案：
(1)由$x-2\geq0$,得$x+2＞0,1-x＜0$,所以原式$=|x+2|-|1-x|+x-2=(x+2)-(x-1)+x-2=x+1$.
(2)原式$=\frac{a}{a^{2}-2a+1}÷\left(\frac{a-1}{a-1}+\frac{1}{a-1}\right)=\frac{a}{(a-1)^{2}}÷\frac{a-1+1}{a-1}=\frac{a}{(a-1)^{2}}×\frac{a-1}{a}=\frac{1}{a-1}$.当$a=\sqrt{5}+1$时,原式$=\frac{1}{\sqrt{5}+1-1}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

20. (14分)如图,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为18和25.
(1) 大正方形的边长是5,小正方形的边长是$3\sqrt{2}$；
(2) 求图中阴影部分的面积.

(2)$\because$大正方形的边长为5,小正方形的边长为$3\sqrt{2}$,$\therefore$阴影部分的面积为:$3\sqrt{2}×(5-3\sqrt{2})=15\sqrt{2}-18$.

答案：
(1) 5,$3\sqrt{2}$;
(2)$\because$大正方形的边长为5,小正方形的边长为$3\sqrt{2}$,$\therefore$阴影部分的面积为:$3\sqrt{2}×(5-3\sqrt{2})=15\sqrt{2}-18$.