《2025年综合应用创新题典中点七年级数学上册鲁教版五四制》

1. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，如果$AB = 10$，$BC:AC = 4:3$，那么$BC$的长为（D）
A.$4$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案： D

2. [2025·泰安模拟]有一个边长为$1$的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②. 若继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了$10$次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）


A.$11$
B.$55$
C.$66$
D.$2^{11}-1$

答案：
A [点拨]如图，由题意得，正方形A的面积为1,由勾股定理得，正方形B的面积 + 正方形C的面积 = 1,所以“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为2,同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为3,“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4, …,所以“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和为11.

3. 情境题 生活应用 图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图. 根据安全标准需满足$BC\perp CD$，现测得$AB = CD = 6\ dm$，$BC = 3\ dm$，$AD = 9\ dm$，其中$AB$与$BD$之间由一个固定为$90^{\circ}$的零件连接（即$\angle ABD = 90^{\circ}$），通过计算说明该车是否符合安全标准.

答案： [解]在Rt△ABD中，$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45$，在△BCD中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45$，所以$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$，所以∠BCD = 90°，即BC⊥CD。所以该车符合安全标准。

4. 如果$x$，$y$，$z$为正整数，且满足$x^{2}+y^{2}=z^{2}$，那么$(x,y,z)$叫作一组勾股数. 如$(3,4,5)$就是一组勾股数.
(1)请你再写出两组勾股数：（6，8，10），（5，12，13）.
(2)在$\triangle ABC$中，三条边长分别为$a$，$b$，$c$，其中$a = n$，$b = \frac{n^{2}}{4}-1$，$c = \frac{n^{2}}{4}+1$（$n$是大于$2$的偶数）. 试说明：$(a,b,c)$是一组勾股数.
由题意知边长c最大，因为$a^{2}+b^{2}=n^{2}+\left( \dfrac{n^{2}}{4}-1\right)^{2}=n^{2}+\dfrac{n^{4}}{16}-\dfrac{n^{2}}{2}+1=\dfrac{n^{4}}{16}+\dfrac{n^{2}}{2}+1$，$c^{2}=\left( \dfrac{n^{2}}{4}+1\right)^{2}=\dfrac{n^{4}}{16}+\dfrac{n^{2}}{2}+1$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。又易知a，b，c均为正整数，所以(a，b，c)是一组勾股数。

答案： [解]
(1)6;8;10;5;12;13(答案不唯一)
(2)由题意知边长c最大，因为$a^{2}+b^{2}=n^{2}+\left( \dfrac{n^{2}}{4}-1\right)^{2}=n^{2}+\dfrac{n^{4}}{16}-\dfrac{n^{2}}{2}+1=\dfrac{n^{4}}{16}+\dfrac{n^{2}}{2}+1$，$c^{2}=\left( \dfrac{n^{2}}{4}+1\right)^{2}=\dfrac{n^{4}}{16}+\dfrac{n^{2}}{2}+1$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。又易知a，b，c均为正整数，所以(a，b，c)是一组勾股数。

5. [2025·烟台莱州市期中]如图，$ABCD$是长方形地面，长$AB = 10\ m$，宽$AD = 5\ m$，中间竖有一堵砖墙，高$MN = 1\ m$. 一只蚂蚁从点$A$爬到点$C$，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多少米.

答案：
[解]如图，将砖墙展开，连接AC，原长方形的长度增加2m，则展开后的AB = 10 + 2 = 12(m)。因为在展开后的长方形ABCD中，AB = 12m，BC = AD = 5m，所以$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，所以AC = 13m，所以蚂蚁从点A爬到点C，它至少要走13m。