《2025年综合应用创新题典中点七年级数学上册鲁教版五四制》

12. 新考向 数学文化 《周礼·考工记》中记载：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是“……直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”即：1宣 $=\frac{1}{2}$ 矩，1欘 $=1\frac{1}{2}$ 宣（其中1矩 $=90^{\circ}$）。
问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若 $\angle A=1$ 矩，$\angle B=1$ 欘，则 $\angle C=$______$^{\circ}$。

22.5

答案： 22.5 【点拨】因为1宣= $\frac{1}{2}$矩，1欘=1 $\frac{1}{2}$宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，所以∠A=90°，∠B=1 $\frac{1}{2}$× $\frac{1}{2}$×90°=67.5°，所以∠C=90°-∠B=90°-67.5°=22.5°.

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$BD\perp AC$ 于点 $D$，点 $E$ 在 $DB$ 的延长线上，$EF$ 交 $BC$ 于点 $H$，$\angle 1=\angle 2$，$\angle E=30^{\circ}$，求 $\angle A$ 的度数。

答案： 【解】因为BD⊥AC，所以∠EDF=∠EDA=90°，所以∠2+∠E=90°.因为∠E=30°，所以∠2=60°.因为∠1=∠2，所以∠1=60°.因为∠ABC=90°，所以∠ABD=90°-∠1=30°.因为∠EDA=90°，所以∠A=90°-∠ABD=60°.

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=34^{\circ}$，$\angle C=70^{\circ}$，$AD\perp BC$ 于点 $D$，$AE$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$，$DF\perp AE$ 于点 $F$。
(1) 求 $\angle BAE$ 的度数；
(2) 求 $\angle ADF$ 的度数。

答案： 【解】
(1)因为∠B=34°，∠C=70°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=76°.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE= $\frac{1}{2}$∠BAC= $\frac{1}{2}$×76°=38°.
(2)因为AD⊥BC，所以∠ADC=90°.又因为∠C=70°，所以∠DAC=90°-∠C=20°.因为∠EAC=38°，所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=38°-20°=18°.因为DF⊥AE，所以∠AFD=90°.所以∠ADF=90°-∠DAE=90°-18°=72°.

15. 2025·烟台月考 新视角·新定义题 定义：如果一个三角形的两个内角 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足 $2\alpha+\beta=90^{\circ}$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
(1) 若 $\triangle ABC$ 是“准互余三角形”，$\angle C＞90^{\circ}$，$\angle A=56^{\circ}$，则 $\angle B=$17$^{\circ}$。
(2) 若 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ}$。
① 如图，若 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，请你判断 $\triangle ABD$ 是否为“准互余三角形”，并说明理由；
② 点 $E$ 是边 $BC$ 上一点，$\triangle ABE$ 是“准互余三角形”，若 $\angle B=28^{\circ}$，求 $\angle AEB$ 的度数。

答案： 【解】
(1)17
(2)①△ABD是“准互余三角形”.理由：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD.因为∠ACB=90°，所以∠BAC+∠B=90°，所以2∠BAD+∠B=90°，所以△ABD是“准互余三角形”.
②因为△ABE是“准互余三角形”，所以2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°.因为∠ABC=28°，所以∠EAB=31°或∠EAB=34°.当∠EAB=31°，∠ABC=28°时，∠AEB=121°；当∠EAB=34°，∠ABC=28°时，∠AEB=118°.综上，∠AEB的度数为121°或118°.