《2025年综合应用创新题典中点七年级数学上册鲁教版五四制》

12. 新考法 整体思想 如图，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB，点P为△ABC内的一点，且∠PBC = ∠PCA，∠BPC = 110°，则∠A =40°.

答案： 40°【点拨】因为∠BPC=110°，所以∠PBC+∠PCB=70°.因为∠PBC=∠PCA，所以∠PCB+∠PCA=70°，即∠ACB=70°.因为∠ABC=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB=70°，所以∠A=180° - 70° - 70°=40°.

13. 新趋势 跨学科 如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. 若∠α = 70°，则∠β的度数是40°.

答案： 40°【点拨】如图，因为∠α=70°，所以∠2+∠3=180° - ∠α=110°.因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠5=180° - 2∠2，∠6=180° - 2∠3，所以∠5+∠6=360° - 2(∠2+∠3)=140°，所以∠β=180° - (∠5+∠6)=40°.

14. 新考法 方程思想 如图，在△ABC中，∠B = 68°，∠A比∠C大28°，点D，E分别在AB，BC上. 连接DE，∠DEB = 42°.
(1)求∠A的度数；
(2)判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由.
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答案： 【解】
(1)设∠C的度数为x°，则∠A的度数为(x+28)°，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B=68°，所以x+x+28+68=180，解得x=42，所以∠C=42°，∠A=70°.
(2)DE//AC，理由：因为∠DEB=42°，∠C=42°，所以∠DEB=∠C.所以DE//AC.

15. 新视角 新定义题 在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”.
(1)已知在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由；
(2)在△DEF中，∠D = 96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数.

答案： 【解】
(1)△ABC是“特征三角形”.理由如下：因为在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，所以∠C=180° - 30° - 50°=100°，所以∠C=2∠B，所以△ABC是“特征三角形”.
(2)因为在△DEF中，∠D=96°，所以∠E+∠F=180° - 96°=84°.由△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，可知有如下两种情况：①∠D是“主特征角”，即∠D=2∠E，则2∠E=96°，所以∠E=48°；②∠F是“主特征角”，即∠F=2∠E，则2∠E+∠E=84°，解得∠E=28°.综上所述，∠E=48°或∠E=28°.

16. 新考法 材料阅读法 如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”. 如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：∠A+∠D=∠C+∠B；
(2)仔细观察，在图②中“8字形”有6个；
(3)在图②中，若∠D = 40°，∠B = 36°，试求∠P的度数；
【解】如图，由(1)知∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4.易知∠1=∠2，∠3=∠4.因为∠D=40°，∠B=36°，所以40°+2∠2=36°+2∠4.所以∠4 - ∠2=2°.根据三角形的内角和及平角为180°可得∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，所以∠P=∠B+∠4 - ∠2=36°+2°=38°.
(4)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系.（直接写出结论即可）
∠P=$\frac{∠D + ∠B}{2}$

答案： 【解】
(1)∠A+∠D=∠C+∠B
(2)6
(3)如图，由
(1)知∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4.易知∠1=∠2，∠3=∠4.因为∠D=40°，∠B=36°，所以40°+2∠2=36°+2∠4.所以∠4 - ∠2=2°.根据三角形的内角和及平角为180°可得∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，所以∠P=∠B+∠4 - ∠2=36°+2°=38°.
(4)∠P=$\frac{∠D + ∠B}{2}$.