《2025年综合应用创新题典中点七年级数学上册鲁教版五四制》

7. 如图，课间小林拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将其掉到两张凳子之间（凳子与地面垂直），已知 $ DC = 55 $ cm，$ CE = 75 $ cm，则两张凳子的高度之和为 130 cm.

答案： 130 【点拨】由题意得$AC=BC,∠ACB=90^{\circ },$$AD⊥DE,BE⊥DE$，所以$∠ADC=∠CEB=90^{\circ },$
所以$∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90^{\circ },$
所以$∠DAC=∠ECB$，所以$△ADC\cong △CEB$
(AAS)，所以$AD=CE=75cm,BE=CD=55cm$，所以两张凳子的高度之和为$AD+BE=$$75+55=130(cm).$

8. 小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知 $ \angle B = \angle E $，$ AB = DE $，$ BF = EC $，其中框架 $ \triangle ABC $ 的质量为 $ 840 $ g，$ CF $ 的质量为 $ 106 $ g，则整个金属框架的质量为 （D）

A.$ 734 $ g
B.$ 946 $ g
C.$ 1052 $ g
D.$ 1574 $ g

答案： D 【点拨】因为$BF=EC$，所以$BC=EF$. 因为$∠B=∠E,AB=DE$，所以$△ABC\cong △DEF$
(SAS)，所以整个金属框架的质量为$840×2-$$106=1574(g)$. 故选 D.

9. 学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组的同学就“测量河两岸 $ A $，$ B $ 两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点 $ B $ 所在河岸的同侧平地上取点 $ C $ 和点 $ D $. 使点 $ A $，$ B $，$ C $ 在一条直线上，且 $ CD = BC $，测得 $ \angle DCB = 100^{\circ} $，$ \angle ADC = 65^{\circ} $，在 $ CD $ 的延长线上取一点 $ E $，使 $ \angle BEC = 15^{\circ} $，这时测得 $ DE $ 的长就是 $ A $，$ B $ 两点间的距离. 你同意他们的说法吗？请说明理由.

答案： 【解】同意.
理由：因为$∠DCB=100^{\circ },∠ADC=65^{\circ },$
所以$∠A=180^{\circ }-∠DCB-∠ADC=15^{\circ }.$
又因为$∠BEC=15^{\circ }$，所以$∠A=∠BEC.$
在$△DCA$和$△BCE$中，因为$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠BEC,\\ ∠ACD=∠ECB,\\ CD=BC,\end{array}\right. $
所以$△DCA\cong △BCE(AAS)$，所以$AC=EC.$
又因为$BC=CD$，所以$AC-BC=CE-CD$，即$AB=DE,$
所以测得 DE 的长就是 A，B 两点间的距离.

10. 新视角 方案设计题 如图，某广场上有一座雕塑，$ A $，$ B $ 两点分别位于其底座两端，但利用现有的皮尺无法直接测出 $ A $，$ B $ 两点间的距离，请你设计一个方案，测出 $ A $，$ B $ 两点间的距离，并说明理由.

答案：
【解】方案：如图，在地面上选择一点 O，连接AO 并延长至点 C，使$OC=OA$，连接 BO 并延长至点 D，使$OD=OB$，连接 CD，测量 CD 的长，CD 的长即为 A，B 两点间的距离.
理由：在$△AOB$和$△COD$中，因为
$\left\{\begin{array}{l} AO=CO,\\ ∠AOB=∠COD,\\ OB=OD,\end{array}\right. $
所以$△AOB\cong △COD(SAS)$，所以$AB=CD.$

11. 情境题 生活应用 如图，$ AD $ 是一段斜坡，$ AB $ 是水平线，现准备测斜坡上一点 $ D $ 的竖直高度 $ DB $，欢欢在 $ D $ 处立上一根竹竿 $ CD $，并保证 $ CD \perp AD $，然后在竿顶 $ C $ 处垂下一根绳子 $ CE $，与斜坡 $ AD $ 交于点 $ E $，他测出了绳子 $ CE $ 的长度，发现 $ CE = AD $，此时他测得 $ DE = 2 $ 米，求 $ DB $ 的长度.

答案：
【解】如图，延长 CE 交 AB 于点 F，
易知$∠A+∠1=90^{\circ },∠C+∠2=90^{\circ },$
因为$∠1=∠2$，所以$∠A=∠C.$
在$△ABD$和$△CDE$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠C,\\ ∠ABD=∠CDE=90^{\circ },\\ AD=CE,\end{array}\right. $
所以$△ABD\cong △CDE(AAS)$，所以$DB=DE,$
因为$DE=2$米，所以 DB 的长度是 2 米.