《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版》

3. 在某海面上,$B港在观测站A的正北方向10\sqrt{3}$n mile处,一艘轮船从$B$港出发匀速向正东方向航行,当航行到$M$处时,从观测站$A测得轮船在北偏东30^{\circ}$方向上,再航行$\frac{1}{2}$h到达$N$港。已知轮船的航行速度是$40$n mile/h。
(1) 运用平面内点的位置的确定方法,画出草图,借助图形计算$B$,$N$两港间的距离(提示：在直角三角形中,$30^{\circ}$角所对的直角边长等于斜边长的一半)；
(2) 试用两种不同的方法描述$N$港所在的位置。

答案：
3.解:
(1)如图，在Rt△ABM中，设BM=x n mile，因为∠BAM=30°，所以AM=2x n mile，于是有$(10\sqrt{3})^2+x^2=4x^2$，所以x=10。

又因为MN=40×$\frac{1}{2}$=20(n mile)，所以B，N两港间的距离为10+20=30(n mile)。
(2)(答案不唯一，合理即可)①用表示方向的角和距离确定，则N港在B港的正东方向30 n mile处；②用有序实数对确定，设A(0,0)，B(0,$10\sqrt{3}$)，则N港在(30,$10\sqrt{3}$)处。

4. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABO的顶点A的坐标为(-3,-3)$,顶点$B的坐标为(-3,4)$,点$P为线段AB$上任意一点(不与点$A$,$B$重合),点$Q是点P关于x$轴对称的点。
(1) 求$\triangle ABO$的面积；
(2) 若点$P的纵坐标为n$,则点$Q$的坐标为______；
(3) 当$\triangle OPA的面积是\triangle OPQ面积的2$倍时,求点$P$的坐标。

(1) $\frac{21}{2}$；(2) (-3,-n)；(3) 点P的坐标为(-3,1)或$(-3,-\frac{3}{5})$。

答案： 4.解:
(1)根据题意得AB=4-(-3)=7，所以$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$。
(2)(-3,-n)
(3)因为$S_{\triangle OPA}=2S_{\triangle OPQ}$，点O到AB的距离为3，所以AP=2PQ。又因为AP=n-(-3)=n+3，PQ=|n-(-n)|=|2n|，所以n+3=4n或n+3=-4n，解得n=1或n=$-\frac{3}{5}$。因此，点P的坐标为(-3,1)或$(-3,-\frac{3}{5})$。