《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版》

3. 如图①,这是由$8$个同样大小的小正方体组成的魔方,体积为$64$。
(1) 求出这个魔方的棱长；
(2) 图①中阴影部分是一个正方形$ABCD$,求出阴影部分的面积及其边长；
(3) 把正方形$ABCD$放到数轴上,如图②,使得点$A与-1$对应的点重合,那么点$D$在数轴上表示的数为$-1-2\sqrt{2}$。

答案：  3.解:
(1)因为魔方的体积为64,所以魔方的棱长为4。
 
(2)因为魔方的棱长为4,所以小正方体的棱长为2。 所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times 2\times 4=8$, 所以正方形ABCD的边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 所以阴影部分的面积为8,边长为$2\sqrt{2}$。
(3)$-1-2\sqrt{2}$ 

4. 计算：
(1) $\sqrt{8}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\vert1-\sqrt{2}\vert$；
(2) $\frac{\sqrt{4}×2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{16}}{8}+(\pi - 3.14)^0$。

答案： （1）$\sqrt{8}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\vert1 - \sqrt{2}\vert=2\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}-1=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$。
（2）$\frac{\sqrt{4}×2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{16}}{8}+(\pi - 3.14)^0=4-\frac{1}{2}+1=\frac{9}{2}。$

5. 化简求值：
$(x + y)(x - y) + y(x + 2y) - (x - y)^2$,其中$x = 2 + \sqrt{3}$,$y = 2 - \sqrt{3}$。

答案： 3xy,3

6. 【综合与实践】在学习了“勾股定理”和“实数”后,某同学以“已知三角形三边的长度,求三角形的面积”为主题开展了数学活动。
操作发现：如图,在$6×6$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为$1$,在图①中画出$\triangle ABC$,同时构造正方形$BDEF$,且它的边$DE$,$EF分别经过点C$,$A$,借助此图便可求出$\triangle ABC$的面积。
实践探究：(1) 在图①所画的$\triangle ABC$中,$AB= $______,$AC= $______,$BC= $______,$S_{\triangle ABC}= $______。
(2) 在图②中的正方形网格中画出$\triangle XYZ$,使$XY = \sqrt{5}$,$XZ = \sqrt{13}$,$YZ = \sqrt{20}$,并求出$\triangle XYZ$的面积。

答案：
解:
(1)5 $\sqrt{10}$ $\sqrt{17}$ $\frac{13}{2}$
(2)画出$\triangle XYZ$如图所示。 $S_{\triangle XYZ}=3\times 4-\frac{1}{2}\times 4\times 2-\frac{1}{2}\times 3\times 2-\frac{1}{2}\times 2\times 1=4$。