《2025年假期超车道八年级数学》

20. 如图,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD的顶点都在正方形网格的格点上.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求证：∠BCD= 90°.

答案：
解：
(1)由题意可知AB=$\sqrt{(3²+3²)}$=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{(5²+5²)}$=5$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{(5²+3²)}$=$\sqrt{34}$，BC=$\sqrt{(5²+3²)}$=$\sqrt{34}$。
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{34}$+$\sqrt{34}$+5$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{34}$。
(2)如图，连接BD。
∵BD=$\sqrt{(2²+8²)}$=2$\sqrt{17}$，DC=$\sqrt{34}$，BC=$\sqrt{34}$，
∴BC²+CD²=BD²。
∴∠BCD=90°。
　　　　　　　

21. 如图,在△ABC中,AB= 4,AC= 5,∠ABC＞90°,点D在AC边上,将△ABD沿着BD折叠得△EBD,连接AE,CE.
(1)用尺规作出△EBD(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)若∠ABD= 30°,CE= 3,连接AE,求∠BEC的度数.

答案：
解：
(1)如图所示，△EBD即为所求。
　　　　　　　　
(2)由折叠可得，∠ABE=2∠ABD=2×30°=60°，AB=EB，
∴△ABE是等边三角形。
∴∠AEB=60°。
∵CE=3，AE=4，AC=5，
∴CE²+AE²=AC²。
∴△ACE是直角三角形，且∠AEC=90°。
∴∠BEC=∠AEC−∠AEB=90°−60°=30°。

22. 阅读下面一段文字,回答问题.
已知坐标平面内两点M($x_{1}$,$y_{1}$),N($x_{2}$,$y_{2}$),则这两点间的距离可用下列公式计算：$MN= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
例如：已知两点P(5,1),Q(3,-2),则这两点间的距离为$\sqrt{(5-3)^{2}+(1+2)^{2}}= \sqrt{13}$.
特别地,如果两点M($x_{1}$,$y_{1}$),N($x_{2}$,$y_{2}$)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴,那么这两点间的距离公式可简化为$MN= |x_{1}-x_{2}|或MN= |y_{1}-y_{2}|$.
(1)已知两点A(1,3),B(-2,4),求A,B两点间的距离.
(2)已知A,B两点在平行于y轴的同一条直线上,点A的纵坐标为8,点B的纵坐标为-2,求A,B两点间的距离.
(3)已知△ABC的顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(5,4),你能判定△ABC的形状吗？请说明理由.

答案： 解：
(1)
∵A(1,3)，B(−2,4)，
∴AB=$\sqrt{[(1 + 2)²+(3 - 4)²]}$=$\sqrt{10}$。
(2)
∵A，B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为−2，
∴AB=|8−(−2)|=10。
(3)△ABC是直角三角形。
　理由：
∵A(1,2)，B(2,1)，C(5,4)，
∴AB=$\sqrt{[(1 - 2)²+(2 - 1)²]}$=$\sqrt{2}$，
　　BC=$\sqrt{[(2 - 5)²+(1 - 4)²]}$=3$\sqrt{2}$，
　　AC=$\sqrt{[(1 - 5)²+(2 - 4)²]}$=2$\sqrt{5}$。
∴AB²+BC²=2+18=20=AC²。
∴△ABC是直角三角形。