《2025年假期超车道八年级数学》

二次函数：一般地,形如______(a,b,c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的______、______和______。
注意：(1)二次函数需满足的三个条件：①含有自变量的代数式是整式；②自变量的最高次数是 2；③二次项系数不为 0。
(2)二次函数的自变量的取值范围是全体实数。
[核心要点] 二次函数常见的三种特殊形式：
①当 b = 0 时,二次函数为 $ y = ax^{2} + c $；
②当 c = 0 时,二次函数为 $ y = ax^{2} + bx $；
③当 b = 0,c = 0 时,二次函数为 $ y = ax^{2} $。

答案： 解：$y = ax^{2} + bx + c$；二次项系数；一次项系数；常数项

例 1 下列函数中,是二次函数的有( )
① $ y = -x^{2} + 2x $；② $ y = \frac{2}{x} - x^{2} $；③ $ y = 3x^{2} - (3x^{2} + 2x - 1) $；④ $ y = ax^{2} + bx + c $。

A.①
B.①②③④
C.①②
D.①③④
[解析] ②中等式右边不是整式,故不是二次函数；③中去括号、合并同类项后不含 $ x^{2} $项,故不是二次函数；④中 a 是否等于 0 不确定,故不一定是二次函数。
[答案] A
[解法归纳] 本题采用的是定义法,利用二次函数的定义判断一个函数是否为二次函数时,要保证解析式是整式,看化简、整理后能否写成 $ y = ax^{2} + bx + c $(a,b,c 是常数,a≠0)的形式。

答案： A

1. 下列函数解析式,一定是二次函数的是( )

A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = ax^{2} + bx + c $
C.$ s = 2t^{2} - 2t + 1 $
D.$ y = x^{2} + \frac{1}{x} $

答案： C

例 2 用长为 32 m 的篱笆围一个矩形养鸡场,设矩形的一条边长为 x m,面积为 $ y m^{2} $。
(1)求 y 关于 x 的函数关系式；
(2)求自变量 x 的取值范围。
[思路点拨] (1)根据矩形的面积公式进行列式；
(2)根据边长与周长的关系及实际意义求范围。
[解] (1)根据题意,得 $ y = x(32÷2 - x) = -x^{2} + 16x $。
(2)根据题意,得 $ \begin{cases} x ＞ 0 \\ x ＜ 32÷2 \end{cases} $
解得 $ 0 ＜ x ＜ 16 $。
[解法归纳] 列二次函数解析式与列一元二次方程类似,只不过二次函数解析式是用自变量表示出因变量,而一元二次方程是关于未知数的等式。

答案：
(1) 解：根据题意，矩形的周长为 32m，一条边长为 x m，则另一条边长为 (32÷2 - x)m，即 (16 - x)m。
面积 y = x(16 - x) = -x² + 16x。
(2) 解：根据题意，边长需大于 0，
则有 $\begin{cases} x ＞ 0 \\ 16 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得 $0 ＜ x ＜ 16$。