《2025年假期超车道八年级数学》

19. 计算：
(1)$\sqrt {48}÷\sqrt {3}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {12}+\sqrt {24}$；
(2)$(2\sqrt {5}+\sqrt {3})^{2}-(\sqrt {5}+\sqrt {2})(\sqrt {5}-\sqrt {2})$.

答案：
(1)原式$=\sqrt{48÷ 3}-\sqrt{\frac{1}{2}× 12}+2\sqrt{6}$$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$.
(2)原式$=20+4\sqrt{15}+3-(5-2)=20+4\sqrt{15}$.

20. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中$AB= AC$,由于某种原因,由 C 到 A 的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点 D(A,D,B 在同一条直线上),并新修一条路 CD,测得$CB= 6.5$千米,$CD= 6$千米,$BD= 2.5$千米.
(1) 求证：$CD⊥AB$；
(2) 求原来的路线 AC 的长.

答案：
(1)$\because CB=6.5$千米,$CD=6$千米,$BD=2.5$千米,$6^{2}+2.5^{2}=6.5^{2}$,$\therefore CD^{2}+BD^{2}=CB^{2}$.$\therefore \triangle CDB$为直角三角形.$\therefore CD\perp AB$.
(2)设$AC=x$千米,则$AB=AC=x$千米,$AD=(x-2.5)$千米.$\because CD\perp AB$,$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$.$\therefore CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$,即$6^{2}+(x-2.5)^{2}=x^{2}$.解得$x=8.45$.答:原来的路线$AC$的长为8.45千米.

21. 如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,其对角线相交于点 O,$OA= 3$,$BD= 8$,$AB= 5$.
(1)$△AOB$是直角三角形吗？请说明理由.
(2) 求证：四边形 ABCD 是菱形.

答案：
(1)解:$\triangle AOB$是直角三角形.理由如下:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$BD=8$,$\therefore OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$.$\because OA=3$,$OB=4$,$AB=5$,$\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$.$\therefore \triangle AOB$是直角三角形,且$\angle AOB=90^{\circ}$.
(2)证明:由
(1)可知,$\angle AOB=90^{\circ}$,$\therefore AC\perp BD$.$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形.

22. 某校数学社团成员采用随机抽样的方法,抽取了八年级部分学生,对他们一周内平均每天的睡眠时间 t(单位：时)进行了调查,将数据整理后得到下列统计表(不完整)：
|睡眠时间/时|频数|频率|
|$t＜7$|3|0.06|
|$7≤t＜8$|a|0.16|
|$8≤t＜9$|10|0.20|
|$9≤t＜10$|24|b|
|$t≥10$|5|0.10|

请根据统计表中的信息回答下列问题：
(1)$a= $____,$b= $____.
(2) 请估计该校 600 名八年级学生中平均每天的睡眠时间不足 9 小时的人数.
(3) 研究表明,中学生每天睡眠时间低于 9 小时,会影响学习效率. 请你根据以上调查统计结果,向学校提出一条合理化的建议.

答案：
(1)本次抽取的学生有:$3÷ 0.06=50$(人).$a=50× 0.16=8$,$b=24÷ 50=0.48$.故答案为:8,0.48.
(2)$600× (0.06+0.16+0.20)=600× 0.42=252$(人).答:估计该校600名八年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的有252人.
(3)根据表格中的数据可知,有接近一半的学生睡眠时间不足9小时,给学校的建议是:近期组织一次家长会,就学生们的睡眠时间进行强调,要求家长监管好孩子们的睡眠时间,要不少于9小时.(合理即可)