《2025年假期超车道八年级数学》

1. 根的判别式：一般地,式子____叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$根的判别式,通常用希腊字母“____”表示它,即____。

答案： $b^{2}-4ac$ $\Delta$ $\Delta =b^{2}-4ac$

2. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$的根的情况
$\left\{\begin{array}{l}\Delta＞0\Leftrightarrow 方程有____\\\Delta = 0\Leftrightarrow 方程有两个相等的实数根\\\Delta＜0\Leftrightarrow 方程____\end{array} \right\}\Delta\geq0\Leftrightarrow$
注意：(1)运用根的判别式时,必须先将一元二次方程化成一般形式,再准确地找出$a$,$b$,$c$的值代入式子计算,特别注意$a$,$b$,$c$的符号不要漏掉；
(2)当$b^{2}-4ac = 0$时,方程有两个相等的实数根,不能说成方程有一个实数根。

答案： 两个不等的实数根 无实数根 方程有两个实数根

例1 不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况。
(1)$3x^{2}-2x - 1 = 0$；
(2)$2x^{2}-x + 1 = 0$；
(3)$4x - x^{2}= x^{2}+2$；
(4)$3x - 1 = 2x^{2}$。
[思路点拨] (1)(2)可以直接计算根的判别式,然后根据判别式与$0$的大小关系判断根的情况；(3)(4)需要先把方程整理为一般形式,再计算根的判别式,然后根据判别式与$0$的大小关系判断根的情况。
[解] (1)$\because\Delta=(-2)^{2}-4×3×(-1)= 16＞0$,$\therefore$方程有两个不等的实数根。
(2)$\because\Delta=(-1)^{2}-4×2×1= -7＜0$,
$\therefore$方程没有实数根。
(3)方程整理为$x^{2}-2x + 1 = 0$。
$\because\Delta=(-2)^{2}-4×1×1 = 0$,
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(4)方程整理为$2x^{2}-3x + 1 = 0$。
$\because\Delta=(-3)^{2}-4×2×1 = 1＞0$,
$\therefore$方程有两个不等的实数根。

答案：
(1) 有两个不等的实数根；
(2) 没有实数根；
(3) 有两个相等的实数根；
(4) 有两个不等的实数根。

1. 不解方程,判断下列方程的根的情况：
(1)$\sqrt{3}x^{2}-\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(2)$x^{2}-2x = 5 - x$。

答案： 1.解:
(1)$\because \Delta =b^{2}-4ac=2-8\sqrt {3}＜0,$
∴该方程没有实数根.
(2)原方程可变形为$x^{2}-x-5=0,$$\therefore \Delta =(-1)^{2}-4×1×(-5)=21＞0.$
∴该方程有两个不等的实数根.

1. 公式法：当$\Delta\geq0$时,方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)的实数根可写为x = $____的形式,这个式子叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做____。这是解一元二次方程的一般方法。
注意：(1)求根公式只适用于解一元二次方程,只有确定方程是一元二次方程,才能运用求根公式求方程的根；
(2)能运用求根公式解一元二次方程的限制条件为$\Delta\geq0$。

答案： $\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ 公式法