《2025年假期超车道八年级数学》

例2 下列二次根式中,是最简二次根式的是( )

A.$\sqrt{9a}$
B.$\sqrt{5a^3}$
C.$\sqrt{a^2 + b^2}$
D.$\sqrt{\frac{a + 1}{2}}$
[思路点拨] 检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是。
[答案] C

答案： C

例3 计算$(\sqrt{27} - \sqrt{12}) × \frac{1}{3}$的结果是( )

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.1
C.$\sqrt{5}$
D.3
[思路点拨] 先根据二次根式的乘法进行计算,再根据二次根式的性质进行计算,最后算减法即可。
[答案] A

答案： A

例4 已知$a = \sqrt{5} + 2$,$b = \sqrt{5} - 2$,求$(a + b)(a^2 + b^2 - ab)$的值。
[思路点拨] 首先把原式化为$(a + b)[(a - b)^2 + ab]$,再把$a = \sqrt{5} + 2$,$b = \sqrt{5} - 2$代入式中计算即可。
[解] 化简后,原式$=(a + b)[(a - b)^2 + ab]$。
当$a = \sqrt{5} + 2$,$b = \sqrt{5} - 2$时,
原式$=(\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2)[(\sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)] = 2\sqrt{5} × (16 + 1) = 34\sqrt{5}$。

答案： 化简后，原式$=(a + b)[(a - b)^2 + ab]$。当$a = \sqrt{5} + 2$,$b = \sqrt{5} - 2$时,原式$=(\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2)[(\sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)] = 2\sqrt{5} × (16 + 1) = 34\sqrt{5}$。

1. 若$x$为任意实数,下列各式一定是二次根式的是( )

A.$\sqrt{x^2 - 1}$
B.$\sqrt{x^2 + 1}$
C.$\sqrt{3}x$
D.$\sqrt{x + 1}$

答案： B

2. 若二次根式$\sqrt{x - 1}$有意义,则实数$x$的取值范围是( )

A.$x \geq 1$
B.$x ＞ 1$
C.$x \geq 0$
D.$x ＞ 0$

答案： A

3. 下列各式中,是最简二次根式的是( )

A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{32}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{a^2}$

答案： C

4. 下列计算正确的是( )

A.$\sqrt[3]{-8} = 2$
B.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
C.$2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
D.$(\sqrt{2} + 1)^2 = 3$

答案： C

5. 对于二次根式的乘法运算,一般地,有$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。该运算法则成立的条件是( )

A.$a ＞ 0$,$b ＞ 0$
B.$a ＜ 0$,$b ＜ 0$
C.$a \leq 0$,$b \leq 0$
D.$a \geq 0$,$b \geq 0$

答案： D

6. 下列各数中,与$\sqrt{3}$相乘,积为有理数的是( )

A.$\sqrt{24}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{12}$

答案： D