《2025年假期超车道八年级数学》

1. 已知 $ a = \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } $,$ b = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } $,那么 $ a $,$ b $ 的数量关系为 ( )

A.$ a + b = \sqrt { 3 } $
B.$ a - b = 0 $
C.$ a b = 1 $
D.$ \frac { a } { b } = 2 $

答案： C

2. 若 $ a = \sqrt { 2 } $,$ b = \sqrt { 7 } $,则 $ \sqrt { \frac { 14 a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = $ ( )

A.2
B.4
C.$ \sqrt { 7 } $
D.$ \sqrt { 2 } $

答案： A

3. 若 $ 6 - \sqrt { 13 } $ 的整数部分为 $ x $,小数部分为 $ y $,则 $ ( 2 x + \sqrt { 13 } ) y $ 的值是 ( )

A.$ 5 - 3 \sqrt { 13 } $
B.3
C.$ 3 \sqrt { 13 } - 5 $
D.$ - 3 $

答案： B

4. 已知实数 $ x $,$ y $ 满足 $ x ^ { 2 } + 10 x + \sqrt { y - 4 } + 25 = 0 $,则 $ ( x + y ) ^ { 2022 } $ 的值是 ( )

A.2 022
B.$ - 2 022 $
C.1
D.$ - 1 $

答案： C

5. 已知 1,$ a $,2 分别是三角形的三边长,则 $ \sqrt { ( a - 1 ) ^ { 2 } } + | a - 3 | = $______.

答案： 2

6. 已知 $ x = 5 + 2 \sqrt { 6 } $,$ y = 5 - 2 \sqrt { 6 } $,则 $ x y ( x + y ) = $______.

答案： 10

7. 已知 $ a = 8 $,$ b = 2 $,则 $ a \sqrt { \frac { 1 } { a } } + \sqrt { 4 b } - \sqrt { \frac { a } { 4 } } + \sqrt { b } $ 的值是______.

答案： $4\sqrt{2}$

8. 已知：$ a = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { - 1 } + ( - \sqrt { 3 } ) ^ { 0 } $,$ b = ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) \cdot ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) $,则 $ \sqrt { a + b } = $______.

答案： 2

9. 解方程：$ ( \sqrt { 3 } + 1 ) ( \sqrt { 3 } - 1 ) x = \sqrt { 72 } - \sqrt { 18 } $.

答案： $x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

10. 在解决问题“已知 $ a = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } $,求 $ 3 a ^ { 2 } - 6 a - 1 $ 的值”时,小明是这样分析与解答的：
$ \because a = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } = \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { ( \sqrt { 2 } - 1 ) ( \sqrt { 2 } + 1 ) } = \sqrt { 2 } + 1 $,
$ \therefore a - 1 = \sqrt { 2 } $.
$ \therefore ( a - 1 ) ^ { 2 } = 2 $,$ a ^ { 2 } - 2 a + 1 = 2 $.
$ \therefore a ^ { 2 } - 2 a = 1 $.
$ \therefore 3 a ^ { 2 } - 6 a = 3 $,$ 3 a ^ { 2 } - 6 a - 1 = 2 $.
请你根据小明的分析过程,解决如下问题：
若 $ a = \frac { 2 } { 3 - \sqrt { 7 } } $,求 $ 2 a ^ { 2 } - 12 a + 1 $ 的值.

答案： 解：$\because a=\frac{2}{3-\sqrt{7}}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}$ $=\frac{2(3+\sqrt{7})}{2}=3+\sqrt{7}$， $\therefore a-3=\sqrt{7}$.$\therefore (a-3)^2=7$. 即$a^2-6a+9=7$.$\therefore a^2-6a=-2$. $\therefore 2a^2-12a=-4$. $\therefore 2a^2-12a+1=-4+1=-3$. 即$2a^2-12a+1$的值为$-3$.