《2025年全品学练考九年级数学上册北师大版深圳专版》

例2 如图1-1-8,四边形ABCD是菱形,$DE⊥AB$于点E,$DF⊥BC$于点F.
(1)求证:$\triangle ADE\cong \triangle CDF$;
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠DAE=∠DCF.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
在△ADE和△CDF中,
∵∠AED=∠CFD,∠DAE=∠DCF,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF(AAS).
(2)连接AC,分别交DE,DF于点M,N,求证:$AM=CN$.
证明:由(1)知△ADE≌△CDF,
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB,
∴∠MAE=∠NCF.
在△AME和△CNF中,
∵∠MAE=∠NCF,AE=CF,∠AEM=∠CFN=90°,
∴△AME≌△CNF(ASA),
∴AM=CN.

答案： 例2 证明:
(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠DAE=∠DCF.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
在△ADE和△CDF中,
∵∠AED=∠CFD,∠DAE=∠DCF,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF(AAS).
(2)由
(1)知△ADE≌△CDF,
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB,
∴∠MAE=∠NCF.
在△AME和△CNF中,
∵∠MAE=∠NCF,AE=CF,∠AEM=∠CFN=90°,
∴△AME≌△CNF(ASA),
∴AM=CN.

如图1-1-9,在菱形ABCD中,$AB=2,∠BAD=60^{\circ }$,E是AD的中点,P是对角线AC上的一个动点,则$PE+PD$的最小值为(B)

A. 1
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. $\sqrt{5}$

答案： B

1. 下列性质中,菱形不具有的是(D)
A. 对角相等
B. 对边平行
C. 对角线互相垂直
D. 对角线相等

答案： 1. D

2. 如图1-1-10,AC,BD是菱形ABCD的对角线,若$∠BAC=50^{\circ }$,则$∠ADB=$40$^{\circ }$.

答案： 2. 40

3. 如图1-1-11,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.已知$AB=5cm,AO=4cm$,则BD的长为6 cm.

答案： 3. 6 cm

4. 如图1-1-12,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使$AE=CF$,连接BE,BF.求证:$\triangle BAE\cong \triangle BCF$.

证明：在菱形$ABCD$中，$AB = BC$，$\angle BAC=\angle BCA$，
$\because\angle BAE = 180^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BCF = 180^{\circ}-\angle BCA$，
$\therefore\angle BAE=\angle BCF$，
在$\triangle BAE$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}BA = BC\\\angle BAE=\angle BCF\\AE = CF\end{array}\right.$，
$\therefore\triangle BAE\cong\triangle BCF$SAS.

答案： 【解析】：
已知四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以$AB = BC$，$\angle BAC=\angle BCA$。
因为$\angle BAC+\angle BAE = 180^{\circ}$，$\angle BCA+\angle BCF = 180^{\circ}$，等角的补角相等，所以$\angle BAE=\angle BCF$。
在$\triangle BAE$和$\triangle BCF$中，$\left\{\begin{array}{l}BA = BC\\\angle BAE=\angle BCF\\AE = CF\end{array}\right.$，根据三角形全等判定定理中的“边角边”（$SAS$），可以得出$\triangle BAE\cong\triangle BCF$。
【答案】：
在菱形$ABCD$中，$AB = BC$，$\angle BAC=\angle BCA$，
$\because\angle BAE = 180^{\circ}-\angle BAC$，$\angle BCF = 180^{\circ}-\angle BCA$，
$\therefore\angle BAE=\angle BCF$，
在$\triangle BAE$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}BA = BC\\\angle BAE=\angle BCF\\AE = CF\end{array}\right.$，
$\therefore\triangle BAE\cong\triangle BCF(SAS)$。