《2025年全品学练考九年级数学上册北师大版深圳专版》

例6 (1)如图1-T-6①，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP//OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由；
四边形CODP是菱形.理由如下:
∵矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴AC=BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,
∴OC=OD.
∵DP//OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵OC=OD,
∴平行四边形CODP是菱形.
(2)如图②，如果图①中的矩形ABCD变为菱形，结论应变为什么？说明理由.
四边形CODP是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠DOC=90°.
∵DP//OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵∠DOC=90°,
∴平行四边形CODP是矩形.
(3)如图③，如果图①中的矩形ABCD变为正方形，结论又应变为什么(请直接写出答案)?
四边形CODP是正方形.

答案： 例6 解:
(1)四边形CODP是菱形.理由如下:
∵矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴AC=BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,
∴OC=OD.
∵DP//OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵OC=OD,
∴平行四边形CODP是菱形.
(2)四边形CODP是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠DOC=90°.
∵DP//OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵∠DOC=90°,
∴平行四边形CODP是矩形.
(3)四边形CODP是正方形.

例7 如图1-T-7①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，F在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接DM，FM.
(1)求证：DM⊥FM，DM=FM；
(2)如图②，若将“正方形ABCD和正方形CGEF”改为“菱形ABCD和菱形CGEF，∠BCD=∠G=120°”，其他条件不变，则DM和FM又有怎样的位置关系和数量关系？直接写出结论.

答案：
[综合能力提升]
例7 解:
(1)证明:如图,延长DM交GE于点N,连接DF,NF.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,
∴AD//BC,BC//GE.
∴AD//GE.
∴∠DAM=∠NEM.
∵M是AE的中点,
∴AM=EM.
又
∵∠AMD=∠EMN,
∴△MAD≌△MEN.
∴DM=NM,AD=EN.
∵AD=CD,
∴CD=EN.
又
∵∠FCD=∠FEN=90°,CF=EF,
∴△DCF≌△NEF.
∴∠CFD=∠EFN,DF=NF.
∵DM=NM,
∴DM⊥FM.
∵∠EFN+∠CFN=90°,
∴∠CFD+∠CFN=90°,
即∠DFN=90°.
∵DM=NM,
∴FM是Rt△DFN斜边上的中线.
∴DM=FM.
(2)DM⊥FM,DM=$\sqrt{3}$FM.